Zero) 용어와 개념 > 함수와 연관된 기본 개념

지수법칙

중학교 지수법칙 : `거듭제곱'을 나타내는 자연수 지수

중학교에서는 거듭제곱을 표현하는 수단으로 자연수 지수를 배웠고, 자연수 지수에 대한 지수법칙을 배웠습니다. 자연수 $m$, $n$에 대하여 다음과 같은 지수법칙이 성립합니다.
  1. $a^m \times a^n = a^{m+n}$
  2. $a^m \div a^n = \begin{cases} \:\:a^{m-n}& (m>n)\\ \:\:\:1&(m=n)\\ \:\dfrac{1}{a^{n-m}}& (m<n) \end{cases}$
  3. $\left( a^m \right)^{n} = a^{mn}$

고등학교 지수법칙 : 표현은 일관적으로, 의미는 더 넓게

이 책에서는 기초 지수법칙의 일관성을 유지하며 지수의 범위를 정수, 유리수, 무리수를 거쳐 실수전체로 확장합니다.

정수 지수 : `거듭제곱의 역수'를 표현하기 위한 지수의 확장

지수법칙 ②는 $m$과 $n$의 대소관계에 따라 다르게 정의되었습니다. 이를 항상 $a^{m-n}$이 되도록 자연스럽게 정의하면 지수의 범위를 정수로 확장할 수 있습니다.
  1. $m>n$
    기존과 같이 $a^{m-n}$입니다.
  2. $m=n$
    $a^m \div a^n = a^{m-n}=a^0$이므로, 지수가 $0$입니다. 원래의 식을 연산해보면 $a^m \div a^n = a^m \div a^m = 1$입니다. 따라서 정수 $0$에 대하여 $a^0=1$이라 정의할 수 있습니다.
  3. $m<n$
    $a^m \div a^n = a^{m-n}$이므로, 지수가 음의 정수입니다. 원래의 식을 연산해보면 $a^m \div a^n=\dfrac{1}{a^{n-m}}$입니다. 따라서 음의 정수 $m-n$에 대하여 $a^{m-n}=\dfrac{1}{a^{n-m}}$이라 정의할 수 있습니다. 즉 자연수 지수를 사용하여 `거듭제곱'을 표현하던 지수의 의미와 활용을, 음의 정수 지수를 사용하여 `거듭제곱의 역수'도 나타낼 수 있도록 확장한 것입니다.
이렇게 새로이 정의된 정수 지수 $k \in \mathbb Z$에 대해서도 기존의 지수법칙이 모두 성립합니다.

유리수 지수 : `거듭제곱(근), 그 역수와 그들 사이의 곱'을 표현하기 위한 지수의 확장

우리는 $x^2 = 2$인 양의 실수가 $x=\sqrt{2}$임을 알고 있습니다. 이때 $x=2^r$라 해봅시다. $\left( 2^r \right)^2$에서 지수법칙이 그대로 성립한다면 $\left( 2^r \right)^2=2^{2r}$가 됩니다. 이 값이 $2$와 같은데, $2=2^1$이므로 $2^{2r}= 2^1$입니다. 따라서 $r=\dfrac{1}{2}$입니다.

같은 방법으로 이를 확장하면 $2\expo{\tfrac{1}{m}} = \sqrt[m]{2}$이고, $2\expo{\tfrac{n}{m}} = \sqrt[m]{2^n}$입니다. 따라서 정수 지수를 사용하여 `거듭제곱과 그 역수들'을 표현하던 지수의 의미와 활용을, 유리수 지수를 사용하여 `거듭제곱(근)과 그 역수, 그리고 그들 사이의 곱'도 나타낼 수 있도록 확장한 것입니다.

무리수 지수 : 로그(함수)와 지수함수를 정의하기 위한 지수의 확장

우리는 지금까지 배운 내용을 토대로 $2^1= 2$, $2^2=4$임을 알고 있습니다. 그러나 $2^x=3$인 $x$가 존재하는지, 존재한다면 $x$를 어떻게 표현하는지는 알지 못합니다. 이는 우변이 $3$일때 뿐만 아니라, 우변이 $y$이고, $y$가 `거듭제곱(근), 그 역수와 그들 사이의 곱으로 표현되지 않는 모든 상황'에서 마찬가지입니다. 수학적으로 이러한 실수 $x$가 임의의 양의 실수 $k$마다 오직 하나 존재함이 알려져 있다고 합니다.1동일한 상황을 함수와 대응을 이용해 나타내면, $x$와 $y$가 $y=2^x$라 대응되는 상황이고, 이러한 함수를 $f(x)=2^x$라 말할 수 있습니다.

한편, 무리수 지수를 사용한 $2^{\sqrt{2}}$라는 수가 존재하는지, 존재한다면 이 수가 어떻게 정의되는지는 알지 못합니다. 이는 지수에 무리수가 들어가는 모든 경우에 대해서 마찬가지입니다. 수학적으로 $2^{\sqrt{2}}$의 값이 한 실수의 값을 가진다는 사실이 알려져 있습니다.2일반적으로 `함수의 극한' 개념을 활용하여 이 과정을 설명합니다. 이는 $2^{\pi}$와 같은 다른 무리수에 대해서도 마찬가지입니다.

이 알려진 두 가지의 사실을 인정하기로 약속해야 논의를 이어갈 수 있습니다. 전자를 통해 비로소 로그를 정의하고, 뒤에서 곧 배울 로그함수의 정의역이 양수 전체의 집합이고, 치역이 실수 전체의 집합임을 이야기할 수 있습니다. 후자를 통해 비로소 뒤에서 곧 배울 지수함수의 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역이 양수 전체의 집합임을 이야기할 수 있습니다.

로그

로그의 정의

$a^x = N$이 성립할 때, $x$는
$a$의 지수 자리에 놓이면 연산 결과를 $N$으로 만들어주는 수
라고 생각할 수 있습니다. 이 의미를 그대로 담아 표현하기 위한 수단이 로그입니다.

예를 들어, 앞서 논의한 바에 따르면 $2^x=3$인 $x$의 값은 분명히 존재하며, 우리는 그 값을 표현할 수 있는 방법이 필요합니다. 따라서 그러한 수를 $\log_2 3$이라 표기하기로 약속하면, 정의에 의해 $2^{\log_2 3} = 3$이 성립합니다. 이때 $\log_2 3$은 `로그 이의 삼'이라고 읽습니다. 3이 식을 공식 ⑤로 설명하는 것은 순환논증이 되어 수학적으로 바람직하지 않습니다.

$1$이 아닌 양수 $a$와 양수 $N$에 대하여 $a^x = N$일 때, $x = \log _a N$이라 표기합니다. 이때 $a$를 이 로그의 밑, $N$을 이 로그의 진수라 합니다.

로그의 성질

로그는 지수에서 파생되었으므로, 지수의 성질과 지수법칙을 이용해 로그의 성질을 끌어낼 수 있습니다.
  1. $a ^{\log_a b} = b$, $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$
  2. $\log_a b + \log_a c = \log_a bc$, $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$
  3. $\log_{a^p} b^q = \dfrac{q}{p}\log_a b$
  4. $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \dfrac{1}{\log_b a}$
  5. $a ^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

지수함수와 로그함수의 정의

지수함수

일반적으로 $a$가 $1$이 아닌 양수일 때, 임의의 실수 $x$에 대하여 $a^x$의 값은 하나로 정해집니다. 따라서 $x$에 $a^x$의 값을 대응시키는 함수 $y=a^x$를 생각할 수 있습니다. 이 함수를 `$a$를 밑으로 하는 지수함수'라고 합니다.4앞으로 지수함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각합니다. 지수함수의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합입니다.

지수함수 $f$를 원함수로 하는 대거역함수 $x=f^{-1}\left(y\right)$

지수함수 $f\left( x \right) =a^x$은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 역함수를 갖습니다.5만약 지수함수의 공역이 실수 전체의 집합이라면 일대일대응이 아닌 일대일함수입니다. 본문에서는 지수함수의 공역을 양의 실수 전체의 집합으로 생각한 것입니다. 이제 $f\left( x \right) =a^x $를 원함수로 하는 역함수 $x = f^{-1}(y)$를 구해봅시다. 로그의 정의에 의하여 $y=a^x \Longleftrightarrow x=\log_a y$이므로 $f^{-1}\left( y \right) = \log_a y$입니다. 이때 $x$와 $y$는 원함수에서와 동일하므로 $x$는 모든 실수, $y$는 모든 양수입니다.

로그함수 : 지수함수 $f$의 새함역함수 $y=f^{-1}\left(x\right)$

이제 `새로운 함수로서의 역함수'를 생각하기 위해 $y$와 $x$의 자리를 서로 바꾸면 새로운 함수 $y=\log_a x$를 얻습니다. 이때 이 새로운 함수에서 $x$는 모든 양수, $y$는 모든 실수입니다. 이렇게 얻은 함수 $y=\log_a x$를 `$a$를 밑으로 하는 로그함수'라 합니다.6앞으로 로그함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각합니다. 로그함수의 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합입니다.

지수함수와 로그함수의 그래프

지수함수 $y=a^x$에서 $x=0$을 대입하면 $a$의 값에 관계 없이 $y=1$이므로, 지수함수의 그래프는 $a$의 값에 관계 없이 $\xy{0}{1}$을 지납니다. $a>1$이면 (a)와 같고, $0<a<1$이면 (b)와 같습니다.

로그함수 $y=\log_a x$에서 $x=1$을 대입하면 $a$의 값에 관계 없이 $y=0$이므로, 로그함수의 그래프는 $a$의 값에 관계 없이 $\xy{1}{0}$을 지납니다. $a>1$이면 (a)와 같고, $0<a<1$이면 (b)와 같습니다.

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이므로 두 함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭입니다. $a>1$이면 (a)와 같고, $0<a<1$이면 (b)와 같습니다.7일반적인 교재에는 이 그림만 실려 있기 때문에 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프의 위치관계가 항상 이 두 그림 중 하나라고 생각하기 쉽습니다. 그러나 더 많은 위치관계가 존재합니다. 이는 Algebra 편에서 다룹니다.

  1. 1. 동일한 상황을 함수와 대응을 이용해 나타내면, $x$와 $y$가 $y=2^x$라 대응되는 상황이고, 이러한 함수를 $f(x)=2^x$라 말할 수 있습니다.
  2. 2. 일반적으로 `함수의 극한' 개념을 활용하여 이 과정을 설명합니다.
  3. 3. 이 식을 공식 ⑤로 설명하는 것은 순환논증이 되어 수학적으로 바람직하지 않습니다.
  4. 4. 앞으로 지수함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각합니다.
  5. 5. 만약 지수함수의 공역이 실수 전체의 집합이라면 일대일대응이 아닌 일대일함수입니다. 본문에서는 지수함수의 공역을 양의 실수 전체의 집합으로 생각한 것입니다.
  6. 6. 앞으로 로그함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각합니다.
  7. 7. 일반적인 교재에는 이 그림만 실려 있기 때문에 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프의 위치관계가 항상 이 두 그림 중 하나라고 생각하기 쉽습니다. 그러나 더 많은 위치관계가 존재합니다. 이는 Algebra 편에서 다룹니다.