일반각
$360^\circ$를 초과하거나 $0^\circ$ 미만인 각을 정의할 수 있습니다.
$0 \le \alpha < 360$인 실수 $\alpha$에 대하여 각 $\mrm{AOB}$의 크기를 $\alpha^\circ$라 할 때, 각의 정의에 따르면 반직선 $\mrm{OA}$를 $\mrm{O}$를 중심으로 회전시켜 반직선 $\mrm{OB}$와 겹치게 할 수 있을 때 회전한 양이 $\alpha^\circ$입니다.
그런데 $\alpha^\circ$만큼 회전한 후 같은 방향으로 한 바퀴를 더 돌아도, 즉 $\alpha^\circ + 360^\circ$만큼 회전하여도 반직선 $\mrm{OA}$를 반직선 $\mrm{OB}$와 겹치게 할 수 있습니다. 마찬가지로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\alpha^\circ + n\times 360^\circ$만큼 회전하여도 반직선 $\mrm{OA}$를 반직선 $\mrm{OB}$와 겹치게 할 수 있습니다. 같은 방법으로 $\alpha^\circ$만큼 회전한 후 반대 방향으로 한 바퀴를 더 돌아도, 즉 $\alpha^\circ - 360^\circ$만큼 회전하여도 반직선 $\mrm{OA}$를 반직선 $\mrm{OB}$와 겹치게 할 수 있습니다. 마찬가지로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\alpha^\circ - n\times 360^\circ$만큼 회전하여도 반직선 $\mrm{OA}$를 반직선 $\mrm{OB}$와 겹치게 할 수 있습니다.
이런 방법으로 모든 정수 $n$에 대하여 각 $\mrm{AOB}$의 크기를 $\alpha^\circ + n\times 360^\circ$라 나타낼 수 있습니다. 이때 시계 반대 방향으로 회전하는 것을 양의 방향 $(+)$, 시계 방향으로 회전하는 것을 음의 방향 $(-)$이라 하고, 이렇게 확장된 각의 정의를 일반각이라 합니다. 이때 $\alpha^\circ$는 `알파 도'라고 읽습니다.
호도법
부채꼴에서 호의 길이는 중심각과 정비례하므로, 호의 길이를 이용하여 각도를 표시하는 단위를 생각할 수 있습니다. 반지름이 $1$이고 중심각이 $180^\circ$인 부채꼴, 즉 반원의 호의 길이는 $\pi$입니다. 이때 이 `호의 길이'를 그대로 `각의 크기'로 사용하는, 즉 `반원의 중심각은 $\pi$'와 같이 호의 길이를 각도의 크기에 대응시키는 방법이
호도법입니다. 이때 $\pi$는 `파이'라고 읽습니다.
호도법에서의 각도의 단위를 라디안이라 합니다. 호도법을 쓸 때에는 일반적으로 단위인 `라디안'을 생략하고 적습니다. 호도법을 이용하여 자주 사용되는 각의 크기를 나타내면 $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$, $360^\circ=2\pi$와 같습니다.
호도법을 이용하면 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구할 때 $\dfrac{\text{중심각의 크기}^\circ}{360^\circ}$를 사용하지 않고 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어 중심각의 크기가 $\theta$이고 반지름의 길이가 $r$인 부채꼴에서 호의 길이 $l$에 대하여 $l = r\theta$입니다. 또한 부채꼴의 넓이 $S$에 대하여 $S = \dfrac{1}{2}lr$이므로 $l = r\theta$를 대입하면 $S =\dfrac{1}{2}r^2\theta$입니다.
삼각비
$\angle \mrm{B} = 90^\circ$이고 $\ovr{AC}=r$, $\ovr{AB}=x$, $\ovr{BC}=y$인 직각삼각형 $\mrm{ABC}$에서 $\angle \mrm{A}$에 대한
삼각비인
사인,
코사인,
탄젠트를 다음과 같이 정의합니다. 이때 $\sin \angle \mrm{A}$는 `사인 각 에이', $\cos \angle \mrm{A}$는 `코사인 각 에이', $\tan \angle \mrm{A}$는 `탄젠트 각 에이'라고 읽습니다.
\[\begin{align*}
\sin \angle \mrm{A} = \dfrac{y}{r},\quad
\cos \angle \mrm{A} = \dfrac{x}{r},\quad
\tan \angle \mrm{A} = \dfrac{y}{x}
\end{align*}\]
삼각함수
삼각함수의 정의
좌표평면에서 중심이 원점 $\mrm{O}$이고 반지름의 길이가 $r$인 원 위의 점 $\xy[P]{x}{y}$에 대하여 직선 $\mrm{OP}$와 $x$축이 이루는 일반각을 $\theta$라 할 때, $\theta$에 대한
삼각함수인
사인함수,
코사인함수,
탄젠트함수를 다음과 같이 정의합니다. 이때 $\theta$는 `세타'라고 읽습니다.
1
\[\begin{align*}
\sin \theta = \dfrac{y}{r},\quad
\cos \theta = \dfrac{x}{r},\quad
\tan \theta = \dfrac{y}{x}
\end{align*}\]
삼각함수 사이의 관계
삼각함수 사이의 관계
$\tan\theta =\dfrac{y}{x} = \dfrac{\qfrac{y}{r}}{\qfrac*{x}{r}} =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$이므로 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$가 성립합니다. 한편 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \dfrac{x^2+y^2}{r^2} = 1$이므로 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$이 성립합니다.
삼각함수의 그래프
사인함수의 그래프
사인함수 $y=\sin x$의 그래프는 위 그림과 같고, 원점에 대하여 대칭이며, 주기가 $2\pi$입니다.
사인함수의 그래프2
코사인함수의 그래프
코사인함수 $y=\cos x$의 그래프는 위 그림과 같고, $y$축에 대하여 대칭이며, 주기가 $2\pi$입니다.
코사인함수의 그래프
탄젠트함수의 그래프
탄젠트함수 $y=\tan x$의 그래프는 위 그림과 같고, 원점에 대하여 대칭이며, 주기가 $\pi$입니다.
탄젠트함수의 그래프
삼각함수의 활용
삼각함수를 이용하기
선분의 길이를 삼각함수를 이용하여 나타내기
그림과 같이 $\angle \mrm{C} = \dfrac{\pi}{2}$, $\angle \mrm{B} = \theta$인 직각삼각형에서 $a = c\times \cos\theta$, $b = c\times \sin\theta$, $b = a\times\tan\theta$ 등과 같이 선분의 길이를 삼각함수를 이용하여 나타낼 수 있습니다.
사인법칙
외접원의 반지름의 길이가 $R$인 삼각형 $\mrm{ABC}$에서 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$이 성립합니다.
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코사인법칙
삼각형 $\mrm{ABC}$에서 다음이 성립합니다.
\[\begin{align*}
a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A \\
b^2 &= c^2 + a^2 - 2ca\cos B \\
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C
\end{align*}\]
삼각형의 넓이
삼각함수를 이용하기
두 변의 길이가 $a$, $b$이고 그 끼인각의 크기가 $\theta$인 삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}ab\sin\theta$입니다. 이는 `$a$를 밑변으로 보고 $b\sin\theta$를 높이로 본 것' 또는 `$b$를 밑변으로 보고 $a\sin\theta$를 높이로 본 것'입니다.
이는 $\theta$가 직각이거나 둔각이어도 마찬가지입니다.
