수열

수열의 정의

문장으로 정의

차례로 나열된 수의 열을 수열이라 하고, 나열된 각각의 수를 그 수열의 항이라고 합니다. 일반적으로 수열을 다음과 같이 나타냅니다. \[\begin{align*}a_1,\:a_2,\:a_3 ,\: \cdots,\: a_n,\:\cdots\end{align*}\] 이때 앞에서부터 차례로 제$1$항, 제$2$항, 제$3$항, $\cdots$, 제$n$항, $\cdots$이라고 합니다.

함수로 정의

$\mathbb N$의 원소 $n$과 수열의 항 $a_n$을 대응시키면 이 대응은 $\mathbb N$에서 $\mathbb R$로의 함수로 생각할 수 있습니다. 즉, 다음과 같습니다. \[\begin{align*} f : \mathbb N \longrightarrow \mathbb R, \: f(n)=a_n\end{align*}\]

일반항

함수식 $f(n)$을 $n$에 대한 식으로 나타내면, 그 식의 $n$에 적절한 자연수를 대입하여 수열의 각 항을 구할 수 있습니다. 그런데 $f(n)=a_n$이므로, 제$n$항 $a_n$이 수열의 각 항을 일반적으로 나타내고 있음을 알 수 있습니다. 이러한 의미에서 제$n$항 $a_n$을 이 수열의 일반항이라고 하며, 일반항이 $a_n$인 수열을 간단히 $\left\{ a_n \right\} $과 같이 나타냅니다.

등차수열과 등비수열

정의, 관계식, 일반항

첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차라고 합니다. 공차가 $d$인 등차수열 $\left\{ a_n \right\} $에서 $a_n$에 공차 $d$를 더하면 $a_{n+1}$이 되므로 $a_{n+1} = a_n + d$가 성립합니다. 이를 이용하여 등차수열의 일반항을 구하면 $a_n = a + \left( n-1 \right) d$입니다.

첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 합니다. 공비가 $r$인 등비수열 $\left\{ a_n \right\} $에서 $a_n$에 공비 $r$를 곱하면 $a_{n+1}$이 되므로 $a_{n+1} = a_nr$가 성립합니다. 이를 이용하여 등비수열의 일반항을 구하면 $a_n = ar^{n-1}$입니다.

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중항, 산술평균, 기하평균

세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $2b=a+c$가 성립하며, $b$를 $a$와 $c$의 등차중항이라고 합니다. 세 수 $a$, $b$, $c$가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $b^2 = ac$가 성립하며, $b$를 $a$와 $c$의 등비중항이라고 합니다.

등차중항 $\dfrac{a+c}{2}$는 $a$와 $c$의 산술평균이라고 하고, 두 등비중항 $\sqrt{ac}$, $-\sqrt{ac}$중에서 양수인 것을 $a$와 $c$의 기하평균이라고 합니다. $a$와 $c$가 모두 양수이면 산술평균과 기하평균에 대하여 다음이 항상 성립합니다. (단, 등호는 $a=c$일 때에만 성립) \[\begin{align*} \dfrac{a+c}{2} \ge \sqrt{ac}\end{align*}\]

여러 가지 수열의 합

$\sum$의 정의

수열 $\left\{ a_n \right\} $의 제$1$항부터 제$n$항까지의 합을 $\sum_{k=1}^{n}a_k$라 표기합니다. 이는 $a_k$의 $k$에 $1$, $2$, $\cdots$, $n$을 차례로 대입하여 얻은 항들의 합을 의미합니다. 이때 기호 $\sum$은 `시그마'라고 읽으며, 이 식은 `시그마 케이는 일부터 엔까지 에이 케이'라고 읽습니다.

$\sum$의 성질

$\sum$는 합으로부터 정의되었으므로 다음과 같은 성질을 갖습니다.

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자연수의 거듭제곱의 합

자연수의 거듭제곱의 합을 구하면 다음과 같습니다(증명 생략).

등차수열과 등비수열의 합

등차수열 $\left\{ a_n \right\} $의 합 $\sum_{k=1}^{n}a_n$과 등비수열 $\left\{ b_n \right\} $의 합 $\sum_{k=1}^{n}b_n$은 각각 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}a_n &= \dfrac{n\left( a_1 +a_n \right) }{2} = \dfrac{n\left( 2a_1+\left( n-1 \right)d \right) }{2}\\ \sum_{k=1}^{n}b_n &= \begin{cases} \dfrac{b_1\left( r^n -1 \right) }{r-1} = \dfrac{b_1\left( 1-r^n \right) }{1-r} & \text{(단,\:$r \ne 1$)}\\ nb_1 & \text{(단,\:$r = 1$)} \end{cases} \end{align*}\]

수학적귀납법

일반적으로 명제 $p\left( n \right) $이 $n\ge m$ ($m$은 $1$ 이상의 자연수)인 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 증명하려면 다음의 두 가지를 보이면 됩니다. 이렇게 증명하는 방법을 수학적귀납법이라고 합니다.