미적분 > 함수의 극한과 수열의 극한

이해 : 함수의 극한과 도형 문제의 해법

논증기하 : 기본적인 접근법

좌표평면이 도입되지 않은 논증기하적 상황에서, 삼각함수 극한과 도형을 엮은 문제는 극한 계산의 측면과 기하의 측면으로 나뉩니다. 각각의 측면에서의 기본기를 알아봅시다.

극한 계산의 측면

기본극한과 치환으로 계산
원리파트에서 배운 대로, $\dfrac{\sin x}{x}$와 같은 기본극한, $\dfrac{\tan x}{x}$, $\dfrac{1-\cos x}{x^2}$, $\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$와 같은 기본극한의 응용, 불연속점

고급 치환 : 미분계수의 정의

치환을 요구하는 복잡한 극한은 대부분 미분계수의 정의인 $\lim_{b \to a}\dfrac{f\left( b \right) -f\left( a \right) }{b-a}$꼴로 해석할 수 있습니다. 이를테면 $\lim_{x \to \tfrac{\pi}{4}}\dfrac{\tan\left( \qfrac{\pi}{2}- x \right)- 1 }{x-\qfrac*{\pi}{4}}$는 다음과 같이 해석할 수 있습니다.1$\left( \tan x \right)' = \sec^2 x $임을 이용한 것입니다. 이는 미분 단원에서 배웁니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to \tfrac{\pi}{4}}\dfrac{\tan\left( \qfrac{\pi}{2}- x \right)- 1 }{x-\qfrac*{\pi}{4}} &=\lim_{x \to \tfrac{\pi}{4}} \dfrac{\tan\left( \qfrac{\pi}{2}- x \right)- \tan\qfrac{\pi}{4}}{-\left\{ \left( \qfrac*{\pi}{2}-x \right) -\qfrac*{\pi}{4} \right\} } =-\tan'\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\sec^2\dfrac{\pi}{4} = -1 \end{align*}\]

기하의 측면

삼각함수를 이용하여 길이를 각으로 표현하기
직각삼각형에서 길이를 각으로 표현하는 것이 가장 기본입니다.
부록에 직각삼각형에서 길이 하나와 각 하나가 주어졌을 때 나머지 길이를 표현하는 연습을 할 수 있도록 $36$개의 그림을 제시했습니다. 반복적으로 연습하여 어떤 상황에서도 능숙하게 길이를 표시할 수 있도록 훈련합시다.
피타고라스 정리
각을 모를 때 길이를 구해야 할 수도 있습니다. 이러한 경우 직각삼각형이 있다면 피타고라스 정리를 이용하여 길이를 구할 수 있습니다.
사인법칙과 코사인법칙
문제에 외접원이 주어지는 경우 사인법칙을 활용할 수 있으며, 외접원이 주어지지 않았더라도 변과 각의 관계를 이용하여 $R$에 대한 식을 두 개 만들어 $R$을 구할 수 있고, 이를 이용하여 나머지 변의 길이를 구할 수 있습니다.
직각삼각형이 잘 보이지 않을 때에는 코사인법칙을 이용하여 변의 길이를 표시할 수 있습니다.

해석기하 : 변칙적인 상황의 유형

전형적인 상황에서 전제했던 아래의 두 가지 중 하나 이상이 결여된 경우를 다뤄봅시다.
  1. 삼각함수의 극한만 이용한다
  2. 좌표를 사용하지 않는다
이러한 변칙은 문제에 좌표평면이 제시되는 해석기하 문제라는 공통점이 있습니다.2삼각함수 말고 등장할 함수는 지수함수와 로그함수뿐이고, 이들은 좌표평면 없이는 의미를 갖지 못합니다. 마찬가지로, 좌표평면이 주어지지 않으면 공식들을 쓸 수 없으니 좌표평면을 줄 수밖에 없습니다.

지수함수와 로그함수도 등장할 수 있다

$\dfrac{e^x - 1}{x}$, $\dfrac{\ln \left( 1+x \right) }{x}$를 출제하기 위해서 좌표평면에 $y=e^x -1$, $y=\ln\left( 1+x \right) $를 제시할 수 있습니다.

좌표평면에서의 공식을 활용할 수 있다

점과 점 사이의 거리 공식, 점과 직선 사이의 거리 공식, 교점의 좌표는 두 도형의 방정식을 연립하여 구할 수 있다는 사실, 직교하는 두 직선은 기울기의 곱이 $-1$이라는 사실 등을 이용하여 원하는 정보를 얻을 수 있습니다.
중심이 $\xy{a}{b}$이고 반지름이 $r$인 원 위의 점이 $\xy{a+r\cos\theta}{b+r\sin\theta}$로 표현된다는 점을 이용하면 좌표를 적극적으로 이용할 수 있습니다.

삼각함수와 좌표평면

맑은개념 수학 I \& 수학 II에서 다루었던 내용을 다시 한 번 언급합니다.

단위원 위에서 $1$--사인--코사인의 관계와 이를 통해 탄젠트를 사인과 코사인으로 나타내는 방법이 활용될 수 있습니다.

탄젠트--코탄젠트 사이의 관계, 1--탄젠트--시컨트의 관계, 코탄젠트--1--코시컨트의 관계가 활용될 수 있습니다.

다음의 극한을 계산하시오.
  1. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x}{x}$
  2. $\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$
  3. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$
  4. $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{3x}$
  5. $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{\ln \left( 1+5x \right) }$
  6. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}$
  7. $\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos\left( 2x^2 \right) }{4x^4}$
  8. $\lim_{x \to 1}\dfrac{a^{x-1}-1}{x-1}$
  9. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln\left( 1+x^2 \right)}{1-\cos 3x}$
  10. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin\left( x^2 + \qfrac{\pi}{4} \right) - \qfrac{\sqrt{2}}{2}}{x^2}$
  11. $\lim_{x \to 0}\left( 1+3x \right)\expo{\tfrac{2}{x}}$
  12. $\lim_{x \to \infty}\left( 1+\dfrac{2}{x} \right)^{3x}$
다음 직각삼각형에서 변의 길이를 $a$와 $\theta$를 이용하여 표현하시오.
다음 직각삼각형에서 변의 길이를 $a$와 $\theta$를 이용하여 표현하시오.
다음 직각삼각형에서 변의 길이를 $a$와 $\theta$를 이용하여 표현하시오.
다음 직각삼각형에서 변의 길이를 $a$와 $\theta$를 이용하여 표현하시오.
다음 직각삼각형에서 변의 길이를 $a$와 $\theta$를 이용하여 표현하시오.
다음 직각삼각형에서 변의 길이를 $a$와 $\theta$를 이용하여 표현하시오.
  1. 1. $\left( \tan x \right)' = \sec^2 x $임을 이용한 것입니다. 이는 미분 단원에서 배웁니다.
  2. 2. 삼각함수 말고 등장할 함수는 지수함수와 로그함수뿐이고, 이들은 좌표평면 없이는 의미를 갖지 못합니다. 마찬가지로, 좌표평면이 주어지지 않으면 공식들을 쓸 수 없으니 좌표평면을 줄 수밖에 없습니다.