미분은 단순히 기울기를 구하는 도구가 아닙니다. 함수의 증감성, 극점, 볼록성, 변곡점을 한꺼번에 분석하는 강력한 도구입니다. 이 파트에서는 미분을 도구로 삼아 함수 그래프를 체계적으로 분석하고, 나아가 미분과 적분이 어떻게 연결되는지 — 미적분의 기본정리를 통해 — 를 이해합니다.

미분을 분석 도구로 쓰기

도함수 는 다음 세 가지 정보를 동시에 담고 있습니다.

• 이면 는 그 구간에서 증가
• 이면 는 그 구간에서 감소
• 인 점은 극점 후보 (극대 또는 극소, 또는 쉼점)

이계도함수 는 볼록성의 정보를 추가합니다.

• 이면 는 아래로 볼록
• 이면 는 위로 볼록
• 이고 부호가 바뀌는 점은 변곡점

정적분과 미분의 관계

정적분을 끝점의 함수로 볼 때, 다음이 성립합니다.

이 를 에 대해 미분하면 놀라운 결과가 나옵니다.

즉, 정적분을 끝점 변수로 미분하면 피적분함수 자체가 나옵니다. 이것이 미적분의 기본정리의 절반입니다.

직관: (매우 작은 ). 양변을 로 나누고 을 취하면 .

미적분의 기본정리

가 에서 연속이고 가 의 임의의 부정적분 (즉 ) 이면,

이 공식은 두 세계를 하나로 잇습니다. 미분 가능한 함수의 도함수와 넓이로 정의된 정적분이 역연산 관계임을 선언합니다.

의미 해석

미적분의 기본정리가 말하는 것:

• 정적분 를 계산하려면 원함수 를 찾아 를 구하면 충분합니다.
• 역으로, 의 정적분 는 의 원함수 중 하나입니다.

이 두 방향이 미분과 적분의 역연산 관계를 완성합니다. 다음 섹션에서는 도함수를 적분했을 때 원함수의 변화량이 나온다는 것을 더 구체적으로 살펴봅니다.