basic-3에서 다항함수를 도함수의 판별식으로 분류했습니다. 이제 도함수의 정적분이라는 새로운 도구를 더해 삼차함수와 사차함수의 숨겨진 구조적 성질을 완성합니다.

삼차함수의 극점 — 변곡점 — 등차수열

()의 도함수는 이차함수입니다.

이 서로 다른 두 근 를 가지면 (가 극대, 극소를 가질 때), 변곡점의 좌표는 의 두 근의 평균입니다.

변곡

이때 , 변곡, 는 공차 인 등차수열을 이룹니다.

공차

왜? 은 이차함수이므로 두 근의 평균이 대칭축이고, 변곡점은 , 즉 의 대칭축에 해당합니다.

변곡점과 함숫값이 같은 점

삼차함수 에서 극대점의 와 극소점의 에 대해, 변곡점의 좌표를 라 하면:

즉, 극대 함숫값과 극소 함숫값의 평균이 변곡점의 함숫값입니다. 변곡점은 삼차함수의 점대칭 중심입니다.

또한, 이면 (가 극대와 극소의 함숫값이 같으면) 변곡점은 축 위에 있고 입니다.

삼차함수의 적분 성질

삼차함수 의 변곡점 을 기준으로, 도함수의 정적분으로 다음 관계를 유도할 수 있습니다.

인경우

즉, 극대점에서 극소점까지의 도함수 정적분이 이 됩니다 — 이 위에서 음수 (감소 구간)이지만, 변곡점을 중심으로 좌우 넓이가 정확히 상쇄됩니다.

사차함수의 정적분 분석

형태의 사차함수에서, 두 극소점 사이에 극대점이 있는 구조를 생각합니다.

사차함수 가 두 점 , 에서 극솟값을 가질 때 (으로 놓으면),

의 값을 도함수의 대칭성으로 계산할 수 있습니다. 특히 가 에 대해 선대칭이면:

이 대칭성은 사차함수의 정적분 계산을 구간의 절반으로 줄여줍니다. 또한 정적분 를 이용하면 극솟값 간의 관계도 빠르게 파악할 수 있습니다.