graph-2 까지 함수의 일반적 성질을 다뤘다면, 이제 다항함수라는 구체적인 사례에 적용할 차례입니다. 차방정식의 근의 양상을 알면 다항함수의 그래프를 개략적으로 그릴 수 있습니다.

근의 중복

차방정식이 에서 근이 몇 번 중복되느냐를 다항함수의 그래프와 연관지어 이야기해봅시다. 논의에 앞서 이상의 자연수 에 대하여 번 중복된 실근을 중근이라 부르기로 하고, 에서 중근을 갖지 않을 때 한 근이라 부르기로 합시다. (허근은 좌표평면에서 나타나지 않으므로 허근을 '한 근'으로 부르지는 않습니다. 좌표평면에서 허근은 오직 실근의 개수를 결정할 때에만 의미가 있습니다.)

케이스를 토글하면서 의 홀짝에 따른 부호 변화·미분계수·극점·변곡점 여부를 비교해 보세요.

다항함수 가 에서 한 근을 가지면 를 기준으로 의 부호가 바뀝니다. 의 부호가 에서 로 바뀌면 이고, 에서 로 바뀌면 입니다.

이 짝수일 때, 다항함수 가 에서 중근을 가지면 를 기준으로 의 부호가 바뀌지 않고, 입니다. 한편 는 극점입니다.

이 홀수일 때, 다항함수 가 에서 중근을 가지면 를 기준으로 의 부호가 바뀌고, 입니다. 한편 는 변곡점입니다.

• 한 근 (): 를 기준으로 의 부호가 바뀝니다. .
• 짝수 중근 ( 이 짝수): 를 기준으로 부호가 바뀌지 않고, . 는 극점.
• 홀수 중근 ( 이 홀수, ): 를 기준으로 부호가 바뀌고, . 는 변곡점.

차방정식의 성질

차방정식의 근을 알면 차함수의 그래프와 절편을 알 수 있으므로, 차방정식의 성질을 알면 그래프를 그리는 데 도움이 될 수 있습니다. 차방정식은 다음과 같은 성질이 있습니다.

1. 개의 근을 갖는다.
2. 실근의 개수를 , 허근의 개수를 라 하면 이다.
3. 허근의 개수는 항상 짝수이고, 가 근이면 도 근이다.
4. 이 홀수이면 적어도 하나의 실근을 갖는다.

다항함수의 개략적인 그래프

차방정식의 성질과 두 극한 , 를 조사하면 다항함수의 그래프를 개략적으로 그려볼 수 있습니다. (각 함수가 갖는 세세한 특징까지 파악할 수 있는 것은 아니고, 근에 따른 함숫값의 부호 변화 등으로 큰 틀을 예상하는 것에 그칩니다. 상세한 특징은 Calculus 에서 미분과 적분을 이용하여 확인할 수 있습니다.) 여러 가지 다항함수의 그래프를 '근의 양상'과 ' 의 부호'에 따라 그려봅시다. 단, 최고차항의 계수가 양수일 때만을 다룹니다.

들어가기 전에 : 미적분을 선택하지 않는 학생들에게

중간중간에 '변곡점', '변곡한다'는 용어가 등장할 것입니다. 앞서 말했듯이 이 내용은 원래 미적분 범위인 미적분에서 다루는 내용이므로 미적분 미선택 범위인 수학 II 에서는 이에 대해 출제할 수 없습니다. (다만 삼차함수는 대칭의 중심이 변곡점이므로, 삼차함수와 사차함수를 자주 다루게 될 여러분께 매우 중요하게 느껴질 것입니다.) 따라서 가볍게 받아들이고 읽어나가면 됩니다.

일차함수

일차함수 의 그래프는 오직 한 가지 경우가 있습니다. 항상 하나의 실근을 가지며, 그 값은 절편인 입니다.

이차함수

근의 양상을 분석하기 이전에 고려해야 할 중요한 사항이 있습니다. 바로 이차함수 가 '대칭축이 인 선대칭함수'라는 점입니다. (왜 선대칭함수인지에 대해서는 Calculus 에서 배웁니다.) 따라서 대칭축과 근의 관계를 확인해야 합니다. 대칭축이 인 이차함수의 그래프는 세 가지 경우가 있습니다.

3 가지 케이스 (두 실근 / 중근 / 두 허근) 를 토글해 보세요. 분홍 점은 실근, 보라 점선은 대칭축입니다.

• (a) 서로 다른 두 실근: 부호가 두 근에서 각각 한 번씩 바뀌므로 총 두 번 부호가 바뀝니다. 이때 는 두 실근의 평균(산술평균)과 같습니다. (앞으로 특별한 언급이 없는 한 평균은 산술평균을 지칭하는 것으로 약속합시다.)
• (b) 중근: 근에서 부호가 바뀌지 않습니다. 이때 는 근과 같습니다.
• (c) 두 허근: 실근이 존재하지 않으므로 함숫값이 인 점이 존재하지 않습니다. 따라서 모든 실수 에 대하여 부호가 같습니다. 실근이 없으므로 와 실근의 관계를 다룰 수 없습니다.

삼차함수

근의 양상을 분석하기 이전에 고려해야 할 중요한 사항이 있습니다. 바로 삼차함수가 '중심이 변곡점인 점대칭함수'라는 점입니다. (왜 점대칭함수인지에 대해서는 Calculus 에서 배웁니다.) 따라서 중심과 근의 관계를 확인해야 합니다. 삼차함수 의 그래프는 네 가지 경우가 있습니다.

4 가지 케이스를 토글해 보세요. 분홍 점은 실근, 보라 점은 점대칭 중심 (변곡점) 입니다.

• (a) 서로 다른 세 실근: 부호가 세 근에서 각각 한 번씩 바뀌므로 총 세 번 부호가 바뀝니다. 이때 세 근이 등차수열을 이루면 가운데 근이 중심이고, 등차수열을 이루지 않으면 근 사이의 간격이 먼 쪽에 중심이 있습니다.
• (b) 2중근 + 한 근: 중근에서는 부호가 바뀌지 않고, 한 근에서는 부호가 바뀝니다. 중근과 한 근의 대소관계에 따라 그래프는 두 가지 경우가 있으며, 중심은 중근과 한 근 사이에 있습니다.
• (c) 3중근: 함숫값의 부호가 한 번만 바뀝니다. 이때 3중근에서 변곡합니다.
• (d) 한 실근 + 두 허근: 함숫값의 부호가 한 번만 바뀝니다. 그러나 이러한 근의 양상만으로는 그래프의 개략적인 형태와 변곡점의 위치는 알 수 없습니다.

사차함수

사차함수 의 그래프를 근의 양상으로 분석해봅시다.

• 서로 다른 네 실근: 부호가 네 근에서 각각 한 번씩 바뀌므로 총 네 번 부호가 바뀝니다. 이때 네 근이 어떤 대칭축에 대하여 둘씩 짝지어 대칭일 경우, 사차함수의 그래프도 그 대칭축에 대하여 대칭입니다.
• 2중근 + 서로 다른 두 실근: 중근에서는 부호가 바뀌지 않고, 각각의 한 근에서는 부호가 바뀝니다. 2중근을 라 할 때, 와 나머지 두 '한 근'의 대소관계에 따라 그래프는 세 가지 경우가 있습니다.
  1. 가 최소인 실근
  2. 가 두 개의 '한 근' 사이에 놓임 : 이때 두 실근의 평균이 2중근 인 경우, 사차함수의 그래프는 에 대하여 대칭입니다.
  3. 가 최대인 실근
• 두 개의 2중근 , : 각 중근에서 부호가 바뀌지 않습니다. 이때 사차함수의 그래프는 에 대하여 대칭입니다.
• 3중근 + 한 근: 3중근에서는 부호가 바뀌고, 미분계수가 이며, 변곡합니다. 한 근에서는 부호가 바뀝니다. 3중근과 한 근의 대소관계에 따라 그래프는 두 가지 경우가 있습니다.
• 4중근: 함숫값의 부호가 바뀌지 않습니다.

허근을 갖는 경우, 근의 양상만으로는 부호의 변화만을 알 수 있을 뿐, 그래프의 개략적인 형태를 알 수 없습니다.

• (a) 두 실근 + 두 허근: 각각의 한 실근에서 부호가 바뀝니다.
• (b) 2중근 + 두 허근: 부호가 바뀌지 않습니다.
• (c) 네 허근: 부호가 항상 입니다.