에 를 취하거나, 에 를 취하면 함수 그래프의 모양이 쪼그라들거나 늘어나면서 변형됩니다. 이는 마치 고무줄과 같이 신축성이 있는 물체를 한 방향으로(세로는 가만히 둔 채 가로로만 쪼그리거나, 가로는 가만히 둔 채 세로로만 쪼그리거나 늘리는 상황) 쪼그리거나 늘였을 때 나타나는 모습과 유사합니다. 이를 그래프의 신축이라고 부르기로 합시다. (신축성에서의 신축(伸縮)입니다. 네이버 국어사전에서는 '늘고 줆. 또는 늘이고 줄임.'을 제시하고 있습니다. '신축'이라는 표현을 최초로 제안한 kzunny 님께 감사드립니다.)

상하로(위쪽과 아래쪽으로) 신축

상수 에 대하여 에 를 취한 함수 의 그래프를 생각해봅시다. 이는 신축 전과 비교하였을 때, 같은 를 대입했을 때 얻을 수 있는 의 값이 에서 한 가 된 것입니다. (예를 들어, 이고 인 상황을 생각해봅시다. 에서는 을 대입하여 를 얻지만, 에서는 을 대입하여 을 얻습니다. 동일하게 을 대입하였을 때 얻는 함숫값이 에서 된 으로 바뀐 것입니다.) 따라서 값이 인 경우를 제외하고는 축으로부터 멀어지거나 가까워지게 되므로, 그래프가 상하로 신축됩니다.

슬라이더로 를 움직여 보세요. 이면 위아래로 늘어나고, 이면 축을 향해 쪼그라듭니다. 절편 (초록 점) 은 항상 보존됩니다.

상하로 신축하더라도 절편은 그대로 유지됩니다. 일 때에는 그래프가 축을 향하여 위아래로 쪼그라들고, 일 때에는 그래프가 축에서 멀어지며 위아래로 늘어납니다.

가 음수인 경우, 의 그래프를 먼저 생각한 후, 축에 대하여 대칭이동한 것이라 볼 수 있습니다.

상하로 신축하면 최값과 극값이 바뀐다

위 그림에서 알 수 있듯, 그래프가 상하로 신축하면 이 아닌 최값과 극값이 바뀝니다. 따라서 그래프가 상하로 신축될 때 최값과 극값의 변화에 따른 상황이 출제될 수 있습니다.

좌우로(왼쪽과 오른쪽으로) 신축

상수 에 대하여 에 를 취한 함수 의 그래프를 생각해봅시다. 이는 신축 전과 비교하였을 때, 같은 값을 얻기 위한 의 값이 된 것입니다. (예를 들어, 이고 인 상황을 생각해봅시다. 에서는 을 대입하여 를 얻지만, 에서는 을 대입하여 를 얻습니다. 같은 함숫값 를 얻기 위하여 필요한 의 값이 에서 된 으로 바뀐 것입니다.) 따라서 값이 인 경우를 제외하고는 축으로부터 멀어지거나 가까워지게 되므로, 그래프가 좌우로 신축됩니다.

좌우 신축은 상하 신축과 반대입니다. 이면 가로로 쪼그라들고, 이면 가로로 늘어납니다. 절편 (초록 점) 은 항상 보존됩니다.

좌우로 신축하더라도 절편은 변하지 않고 그대로 유지됩니다. 일 때에는 그래프가 축을 향하여 좌우로 쪼그라들고, 일 때에는 그래프가 축에서 멀어지며 좌우로 늘어납니다.

가 음수인 경우, 의 그래프를 먼저 생각한 후, 축에 대하여 대칭이동한 것이라 볼 수 있습니다.

좌우로 신축하면 주기함수와 준주기함수의 주기가 바뀐다

이면 좌우로 쪼그라들기 때문에 주기함수의 주기가 작아지고, 이면 좌우로 늘어나기 때문에 주기함수의 주기가 커지게 됩니다. 원래의 주기가 라면 의 주기는 가 됩니다. 이는 준주기함수도 마찬가지입니다. 원래의 주기가 라면 의 주기는 가 됩니다.

그래프의 신축과 미적분

신축된 그래프는 원래의 그래프 위의 점과 일대일대응됩니다. 원래의 그래프와 신축된 그래프의 관계를 미적분을 이용하여 더 알아봅시다.

상하로의 신축과 미적분

라 하고, 위의 점 , 가 각각 그래프 위의 점 , 와 대응되고, 각각의 좌표가 , , , 일 때, 상하로 신축되었으므로 , 입니다. 또한 다음이 성립합니다.

(미적분 선택자 전용) 좌우로의 신축과 미적분

라 하고, 위의 점 , 가 각각 위의 점 , 와 대응되고, 각각의 좌표가 , , , 일 때, 다음이 성립합니다.