수열은 함수입니다. 정의역이 자연수인 함수. 이 관점에서 보면, 등차수열과 등비수열은 각각 일차함수와 지수함수의 자연수 제한판이 됩니다.

등차수열 = 일차함수

등차수열 은 이웃한 두 항의 차이가 일정한 수열입니다. 그 공통된 차이를 공차 라 합니다.

이를 정리하면 로, 에 관한 일차함수입니다. 기울기는 공차 , 절편은 입니다.

자연수 에서의 값만 취하면 등차수열이 되고, 이 점들을 이으면 기울기 의 직선이 됩니다.

공차 와 첫째항 을 조절하며 등차수열(보라 점)이 일차함수(cyan 직선) 위의 자연수 점임을 확인하세요. 기울기 = 공차.

등차중항

세 수 , , 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 를 와 의 등차중항이라 합니다.

기하학적으로: 는 와 의 산술평균, 즉 직선 위 두 점의 중점 값입니다.

일반화하면, 등차수열에서 대칭 위치의 두 항을 더하면 항상 같은 값을 갖습니다.

가상의 중항 아이디어: 등차수열의 임의의 두 항 , 사이에 가상의 중항 를 생각할 수 있습니다. 직선 위의 점이므로 가 자연수가 아니더라도, 직선의 중점 값으로서 의미를 가집니다.

등차수열의 합 — 3가지 해석

등차수열 의 첫 항의 합 을 구하는 공식은 하나이지만, 이해하는 방법은 세 가지입니다.

(1) 묶음: 을 역순으로 쓴 과 더하면, 각 쌍의 합이 으로 동일하므로 .

(2) 반묶음: 첫 항과 끝 항, 두 번째와 끝에서 두 번째, … 를 쌍으로 묶으면 쌍이 만들어지고, 가운데 항이 남는 경우를 처리하면 동일한 결과.

(3) 모든 항을 중항으로: 모든 항이 중항 으로 교체 가능합니다. 개의 항이 모두 평균값과 같으므로 . 이는 산술평균의 성질 와 일치합니다.

등비수열 = 등차의 곱하기 버전

등비수열 은 이웃한 두 항의 비가 일정한 수열입니다. 공통된 비를 공비 이라 합니다.

등차수열과의 대응:

| 등차수열 | 등비수열 | |---|---| | 더하기 | 곱하기 | | 공차 | 공비 | | | | | 일차함수 | 지수함수 |

등비중항

세 수 , , 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 를 와 의 등비중항이라 합니다.

는 와 의 기하평균입니다. 등차중항이 산술평균이었다면, 등비중항은 기하평균.

공비 양수인 등비수열 = 지수함수

이고 인 가장 단순한 경우, 입니다. 이 수열의 모든 점은 지수함수 위에 놓입니다.

일반적으로 이면 , 이는 꼴의 지수함수 위의 점입니다.

공비 을 조절하며 등비수열(보라 점)이 지수함수 (cyan 곡선) 위의 자연수 점임을 확인하세요. 이면 증가, 이면 감소, 점근선은 .

등비수열에 로그를 취하면

, 인 등비수열 에 로그를 취하면:

이는 공차 , 첫째항 인 등차수열입니다. 역함수(로그)를 적용하면 곱하기 구조가 더하기 구조로 변환됩니다. 이것이 로그의 핵심 역할입니다.

등비수열등차수열등차수열등비수열

공비가 음수인 경우

인 등비수열은 양수와 음수가 번갈아 등장합니다.

그래프 관점: 홀수 항은 위, 짝수 항은 위에 번갈아 놓입니다. 두 지수함수 사이를 왔다갔다하는 수열.

등비수열의 합

등비수열 의 첫 항의 합:

인 경우를 분리하는 이유: 이면 으로 나눌 수 없기 때문입니다. 그러나 일 때 수열 자체는 상수수열 이므로 합은 입니다.

지수로그함수의 등비성

지수함수 에서 가 등차수열 이면, 은 공비 인 등비수열입니다.

마찬가지로 로그함수 에서 가 등비수열 이면, 은 공차 인 등차수열입니다.

지수함수와 로그함수는 등차↔등비 변환의 쌍대(dual)입니다.