은 단순히 합산의 결과가 아닙니다. 자체도 하나의 수열이며, 그 그래프는 에 대한 정보를 담고 있습니다.

그래프의 해석

이므로, 번째 항 은 그래프에서의 연속된 두 점의 차이, 즉 기울기입니다.

• 이면 : 그래프가 증가
• 이면 : 그래프가 감소
• 이면 : 그래프가 수평

등차수열 의 경우: 은 일차함수이므로, 은 이차함수입니다. 등비수열 의 경우: 은 지수함수이므로, 도 지수함수 꼴입니다.

등차수열

이는 에 관한 이차함수입니다. 계수를 보면, 이면 위로 볼록, 이면 아래로 볼록.

등비수열

이는 에 비례하는 지수 꼴입니다.

과 의 부호 관계

과 은 서로 다른 조건입니다.

• : 누적합이 양수. 음수인 항이 있어도 전체 합이 양수일 수 있음.
• : 각 항이 모두 양수.

등차수열 에서 이 최대가 되는 은, 이면서 이 되는 시점입니다. 즉, 항이 양수에서 음수로 전환되는 경계.

최대

(미적분 선택자) 급수와 수열의 극한

수열의 합 에서 로 극한을 취하면 급수(무한급수)가 됩니다.

이 극한이 존재하면 급수가 수렴, 존재하지 않으면 발산합니다.

수렴의 필요 조건: 급수 이 수렴하면 .

이 조건은 필요조건이지 충분조건이 아닙니다. 이어도 급수가 발산할 수 있습니다. 가장 유명한 예는 조화급수:

등비급수의 경우: 공비 에 따라

이면 발산. 이 결과는 에서 로 취한 것입니다. 이면 .

기하학적 해석: 등비급수 는 넓이로 이해할 수 있습니다. 한 변의 길이 인 정사각형을 비율 로 반복해서 분할하면, 모든 조각의 넓이의 합이 입니다. 수열의 이산 구조와 적분의 연속 구조가 등비급수에서 만납니다.