수열 의 첫 항까지의 합을 이라 할 때, 반대로 으로부터 을 복원하는 방법과, 교과서에서 잘 다루지 않는 특수한 수열들을 살펴봅니다.

으로 찾기

이므로:

그리고 .

이 공식은 자연스럽습니다. 에서 직전까지의 합 을 빼면 만 남습니다.

예외 처리

공식은 에서만 성립합니다. 에 대입하면 이 등장하는데, 이 아닐 수 있습니다. 반드시 을 따로 확인해야 합니다.

만약 이 에서도 성립하면 별도 확인이 필요 없지만, 대부분의 문제에서 공식을 먼저 구하고, 을 대입해 과 일치하는지 검증합니다.

금단의 수열 (1): 계차수열

수열 의 이웃한 두 항의 차로 만들어진 수열 을 계차수열이라 합니다.

을 알면 을 복원할 수 있습니다.

이 공식은 으로 을 구하는 방법의 역방향입니다. 을 처럼, 을 처럼 생각하면 됩니다.

계차수열의 활용: 의 규칙을 직접 찾기 어려울 때, 계차수열 의 규칙이 더 단순한 경우가 많습니다. 계차수열이 등차수열이면 원래 수열은 이차함수, 계차수열이 등비수열이면 원래 수열은 지수함수 + 다항식 꼴입니다.

계차수열이등차 계차수열이등비공비

금단의 수열 (2): 주기수열

자연수 에 대해 모든 에서 이 성립하는 수열을 주기수열이라 하고, 가장 작은 그런 를 주기라 합니다.

주기수열은 주기함수의 이산(discrete) 버전입니다. 삼각함수 이 주기 를 갖듯, 주기수열은 일정한 패턴이 반복됩니다.

주기수열의 합: 주기 인 수열에서 한 주기의 합을 라 하면:

즉, 을 로 나누어 몫만큼 를 더하고, 나머지에 해당하는 항을 추가합니다.

금단의 수열 (3): 군수열

항들을 일정한 규칙으로 군(group) 으로 묶어 분석하는 수열을 군수열이라 합니다.

예를 들어, 는 다음과 같이 군으로 나눕니다.

군군군군

군에는 개의 항이 있고, 군까지의 총 항 수는 .

군수열 풀이의 핵심은 " 번째 항이 몇 군, 몇 번째에 해당하는가" 를 찾는 것입니다.

1. 군까지의 총 항 수 를 구함
2. 를 만족하는 를 찾음
3. 이 군 안에서의 위치

군수열은 이중(double) 인덱싱을 단일 인덱싱으로 변환하는 기술이라 할 수 있습니다.