합성함수 는 속함수 가 먼저 작동하고, 겉함수 가 그 결과를 받습니다. 속함수와 겉함수 중 어느 쪽에 기본함수를 놓느냐에 따라 그래프의 변형 양상이 달라집니다.

속함수가 일차:

이는 두 단계의 변환입니다:

1. 좌우 신축: — 이면 압축, 이면 신장
2. 좌우 평행이동: — 만큼 이동

축방향배압축후오른쪽이동

겉함수가 일차:

는 두 단계:

1. 상하 신축: — 이면 세로 늘이기, 이면 세로 줄이기
2. 상하 평행이동:

이 조합이 바로 sec-02에서 다룬 의 구조입니다.

절댓값:

는 인 부분은 그대로, 인 부분은 축 대칭으로 반전합니다.

치역이의부분집합

• 인 점은 그대로 축 위에 남음
• 그래프의 음수 부분이 위로 접힘

유리함수(분수):

는 의 역수입니다.

• 이면 — 부호 보존
• 이면 — 부호 보존
• 이면 — 의 영점이 의 세로 점근선
• 이면 — 의 수평 점근선 이 의 수평 점근선
• 인 점과 인 점은 에서도 같은 값 ( 또는 )

무리함수(근호):

는 인 곳에서만 정의됩니다.

정의역제한

• 인 점에서 — 그래프가 축에 접함
• 이면 ( 이면 오히려 )
• 치역: 의 부분집합

지수:

(, ):

• 치역은 항상 양수: , 수평 점근선
• 일 때: 이면 , 이면
• 의 최댓값·최솟값이 의 최댓값·최솟값을 결정

이면의대소는의대소와동일

로그:

( 인 곳에서만 정의):

정의역제한

• 인 점에서 ( 축과 교점)
• 이면 (세로 점근선 방향)
• 이면 (지수함수보다 느리게)
• 의 대소와 의 대소는 밑 이면 동일, 밑 이면 반전

삼각: 와

: 속함수 의 변화에 따라 sin이 진동합니다.

• 가 빠르게 증가하면 는 더 자주 진동
• 이면 , 주기

: 의 치역 이 의 정의역 역할을 합니다.

• 의 위에서의 행동만이 의미를 가짐
• 는 주기 이므로, 도 주기 (또는 약수)

합성으로 이해하는 각변환

삼각함수의 각변환 공식을 합성함수로 해석합니다.

로 놓으면 . 그런데 이므로, — 겉함수 이 의 효과를 흡수.

는를만족

이는 가 에 대해 선대칭임을 의미합니다.

로 놓으면 , 즉 . 가 짝함수, 즉 축 대칭임과 동치.

에 대해 , 즉 . 주기의 절반만큼 이동하면 부호가 반전됩니다.

이처럼 각변환 공식은 합성함수 가 , , 또는 의 위상이동과 일치하는지를 묻는 질문으로 통일됩니다.