미분계수는 단순히 "기울기를 구하는 공식"이 아닙니다. 할선 기울기의 극한이라는 본질을 정확히 이해하면, 미분가능성 판별과 이계미분까지 자연스럽게 이어집니다.
미분계수의 정의
함수 에서 의 미분계수 는 다음 극한으로 정의됩니다.
이 극한이 존재할 때, 는 에서 미분가능하다고 합니다.
극한이 존재한다는 것은 좌극한과 우극한이 모두 같은 값으로 수렴한다는 의미입니다.
이 두 값을 각각 왼쪽 기울기, 오른쪽 기울기라 부릅니다.
존재왼쪽기울기오른쪽기울기
기하학적 의미: 접선의 기울기
는 곡선 위의 두 점 와 를 지나는 할선의 기울기입니다.
으로 보낼수록 점 B가 점 A에 가까워지고, 할선은 점 A에서의 접선으로 수렴합니다.
따라서 미분계수 는 에서의 접선의 기울기입니다.
아래 탐색기에서 를 줄여보면서 할선이 접선에 수렴하는 과정을 확인해보세요.
$f(x) = x^2$, $a = 1$ 고정, $h$ 를 줄이면 할선이 접선에 가까워집니다.
할선 기울기 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$3.50
접선 기울기 $f'(a) = 2$2.00
차이1.50
슬라이더로 를 0에 가깝게 줄이면, 주황색 할선이 초록색 접선에 수렴합니다. , 에서 접선 기울기는 .
미분가능성과 연속성
미분가능하면 연속입니다. 역은 일반적으로 성립하지 않습니다.
미분가능연속역은성립안함
연속이지만 미분불가능한 전형적 사례: 는 에서 연속이지만, 왼쪽 기울기 과 오른쪽 기울기 이 달라서 미분불가능합니다.
미분계수가 0인 점의 의미
이면 에서의 접선이 수평입니다. 이는 극대·극소의 필요조건이지만, 충분조건은 아닙니다.
가극점후보
예: 은 이지만, 은 극점이 아닌 변곡점입니다.
이계미분계수
도함수 를 다시 미분한 것을 이계도함수 라 합니다.
이계도함수는 함수의 볼록성을 판단합니다.
- 이면 근방에서 아래로 볼록
- 이면 근방에서 위로 볼록
- 이고 부호가 바뀌면 변곡점
도함수의 극한과 미분계수: 주의사항
와 는 다른 개념입니다. 도함수의 극한이 존재하면 그 값은 미분계수와 같지만, 도함수의 극한이 존재하지 않더라도 미분계수는 존재할 수 있습니다.
단가미분가능할때
이 명제는 평균값 정리로 증명됩니다. 역으로 가 존재해도 가 존재하지 않을 수 있음에 주의합니다.
실전 프로세스: 도함수 를 구한 뒤, 가 수렴하면 그 값을 로 쓸 수 있습니다. 수렴하지 않으면 미분계수의 정의로 돌아가 직접 계산합니다.