적분은 미분법의 역입니다. 수학 II에서는 다항함수의 적분만 다루므로, 화려한 테크닉보다 정확하고 빠른 계산이 핵심입니다.

부정적분

다항함수 적분의 기본 공식은 미분법을 뒤집은 것입니다.

는적분상수

수학 II 범위에서 이 공식을 실수 없이 빠르게 쓰는 것이 적분 실력의 전부라 해도 과언이 아닙니다.

정적분의 성질

대칭성

홀수차 다항함수(홀함수)와 짝수차 다항함수(짝함수)의 정적분에 대칭성을 적용하면 계산량을 대폭 줄일 수 있습니다.

가홀함수

가짝함수

선대칭·점대칭 함수에서도 같은 원리로 넓이가 상쇄되거나 배가 됩니다.

평행이동

적분 구간을 평행이동하고 피적분함수를 반대 방향으로 평행이동하면 적분값이 보존됩니다.

적분변수와 정적분으로 정의된 함수

변수만 다른 두 정적분

정적분의 값은 적분변수의 이름에 무관합니다. 든 든 같은 함수 관계를 나타내므로 넓이도 동일합니다.

왜 를 쓰는가

부터 까지의 정적분을 나타낼 때, 라 쓰면 피적분함수의 변수와 위끝의 변수가 충돌합니다. 를 대입하면 가 되어 의도와 달라집니다.

따라서 적분변수를 로 바꾸어 씁니다.

이렇게 하면 위끝 만 변수이고, 는 그대로입니다. 를 대입하면 로 자연스럽게 정의됩니다.

미적분의 기본정리

치환적분 (미적분 선택자)

로 치환하면 이므로,

연쇄법칙의 역입니다. 정적분에서는 로 치환할 때 적분 구간도 함께 바꾸어야 합니다.

부분적분 (미적분 선택자)

곱의 미분법의 역입니다.

또는

선택 원칙 (LIATE 순서): 로그, 역삼각, 대수(다항), 삼각, 지수 순으로 를 택하면 대부분의 경우 계산이 단순해집니다.