함수의 성질 보존

주기함수 : 가 주기함수이면, 에 어떤 함수를 취해도 주기함수이다

주기함수 와 일반적인 함수 에 대하여 는 주기함수입니다. (가 준주기함수라고 해도 가 준주기함수라는 보장은 없으므로 주의해야 합니다.)

예를 들어 , 일 때 이고, 이므로 는 주기함수입니다.

이를 통해 , 와 같이 다채로운 주기함수를 만들어낼 수 있습니다.

짝함수와 선대칭 : 가 선대칭함수이면, 에 어떤 함수를 취해도 선대칭함수이다

선대칭함수 와 일반적인 함수 에 대하여 는 선대칭함수입니다. (특히 가 짝함수이면 도 짝함수입니다.)

예를 들어 , 일 때 이고, 이 성립하므로 는 짝함수입니다. 한편 를 그릴 때 에서 인 부분을 그리고 축에 대하여 대칭시켜 그렸던 것도, 가 짝함수이므로 가 짝함수가 되었기 때문임을 알 수 있습니다.

이를 통해 , 와 같이 다채로운 선대칭함수를 만들어낼 수 있습니다.

대칭성과 관련된 상황

대칭성의 생성 : 혼자서는 대칭성이 없지만, 둘이 모이면 대칭성을 만들 수 있다

대칭성이 없는 함수 에 대하여 와 를 이용하여 만든 더하기함수 와 빼기함수 를 이용하면, 와 는 대칭성이 있습니다. 이를 통해 대칭성이 없는 함수만으로도 대칭성이 있는 함수를 생성할 수 있습니다.

이므로 는 짝함수입니다. 예를 들어 라 할 때, 는 를 만족하므로 짝함수입니다. 이는 더하기함수의 그래프를 그려서 직관적으로 이해할 수도 있습니다.

이므로 는 홀함수입니다. 예를 들어 라 할 때, 는 를 만족하므로 홀함수입니다. 이는 빼기함수의 그래프를 그려서 직관적으로 이해할 수도 있습니다.

대칭성의 생성 활용하기

일 때, 는 대칭성이 없지만, 는 짝함수입니다. 이때

이고,

이므로 를 다루는 것보다 를 다루는 것이 더 편리할 수 있습니다.

(미적분 선택자 전용) 와 의 미묘한 관계

, 라 할 때 다음이 성립합니다.

이때 이면 이므로 , 라는 특별한 관계를 얻을 수 있습니다.

준주기함수와 빼기함수를 이용하여 주기함수 만들기

준주기함수보다는 주기함수가 다루기 쉽습니다. 준주기함수 가 주어졌을 때 빼기함수를 이용하여 주기함수 를 만들어봅시다.

가 성립할 때, 라 하면 다음이 성립하므로 는 주기함수입니다.

이는 그림을 통해 직관적으로도 이해할 수 있습니다. 준주기함수 는 가 만큼 커질 때마다 가 만큼 커지는 성질을 갖고 있습니다. 이러한 성질을 제거하기 위해서, 가 만큼 커질 때마다 가 만큼 커지는 성질을 갖고 있는 일차함수 를 빼어 상쇄하는 것입니다.

대소비교함수

와 중에서 작지 않은 값을 , 크지 않은 값을 라 하면, 과 은 와 의 함숫값을 대소비교하여 적당한 값을 취하는 함수입니다. 이를 대소비교함수라 부르기로 합시다.

대소비교함수의 그래프

와 가 주어졌을 때, 는 두 그래프 중 위쪽을 따라가는 그래프이고, 는 두 그래프 중 아래쪽을 따라가는 그래프입니다.

대소비교함수의 함수식

의 함수식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그런데 우리는 이미 동일한 분류 기준을 가진 조각함수를 알고 있습니다. 가 보다 크거나 같을 땐 어떤 값을 나타내고, 가 보다 작을 땐 다른 값을 나타내는 함수, 무엇일까요? 바로 절댓값을 이용한 입니다.

이때 주어진 등식의 양변에 를 더하면 다음과 같습니다.

이 등식을 로 나누면 의 함수식과 동일함을 알 수 있습니다. 따라서

와 중에서 크지 않은 값을 라 하면 같은 논리로

임을 나타낼 수 있습니다.