함수 에 대하여 에 를 취한 함수 는 출제자들이 매우 선호합니다. 이는 하나만 적절히 설정하면 여러 가지를 동시에 물을 수 있기 때문입니다. 연속함수 에 대하여 에 관한 대표적인 상황을 다루어봅시다. 편의상 라 합시다.

를 알 때 그리기 : 이용

를 알 때 를 그려보기 위해서는 방정식 의 해를 찾아야 합니다.

를 이용하는 근거

는 주어진 정보이고, 는 주어진 정보를 바탕으로 해석하여 알아내야 하는 정보입니다. 따라서 우리는 와 의 관계에 관심을 가질 수밖에 없고, 그 관계 중 가장 특수한 상황인 두 함수의 함숫값이 같은 상황이 언제인지를 탐구하는 것은 매우 자연스럽습니다.

방정식 의 해의 유형

이를 수식으로 나타내면 입니다. 이 방정식의 가장 간단한 해는 를 만족시키는 실수 입니다. 좌변과 우변이 모두 로 같아지기 때문입니다. 이는 와 의 교점의 좌표이기도 합니다.

그 외의 해가 더 존재하는지를 찾아봅시다. 주어진 방정식에서 로 치환하면 입니다. 이를 단계적으로 해석해봅시다.

① 는 를 만족시킨다. 이는 가 위의 점임을 의미합니다. 그런데 이는 우리가 앞서 살펴보았던 방정식 의 가장 간단한 해이기도 합니다.

② 는 를 만족시킨다. ①에서 얻은 와 의 교점의 좌표를 , , 라 할 때, 와 , , 가 만나는 점들의 좌표가 우리가 찾던 방정식의 해입니다.

정리하면, 의 해는 다음의 두 가지로 분류할 수 있습니다.

① 인 : 와 의 교점의 좌표

② 인 : ①의 해를 , , 라 할 때, ①의 해와 함숫값이 같은 곳

배운 내용 연습하기 (1)

의 그래프가 주어졌을 때, 의 그래프를 그려봅시다. 이때 또한 엄연히 합성함수이므로, sec-02에서 배운 논리를 그대로 이용하여 증감성을 분석할 수 있을 것입니다. 그런데 주어진 는 증가함수이므로 도 증가함수임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 극점은 고려하지 않아도 됩니다.

먼저 좌표가 방정식 의 해인 경우부터 찾아봅시다. 좌표가 ①의 해이면 그 점에서 와 가 만나고, 그 점은 위의 점입니다. (그림에서는 검은색 점으로 표현되어 있습니다.) 이러한 해들을 , , , 이라 할 때, 와 가 만나는 점들의 좌표가 ②의 해이고, 이 점들 또한 위의 점입니다. (그러나 이러한 점은 존재하지 않습니다.)

앞서 극점이 없음은 알았으므로, 나머지 일반적인 점 에 대하여 를 찾아봅시다. 이므로 를 찾으면 됩니다. (a)와 같이 가 의 아래쪽에 있을 경우 입니다. (b)와 같이 가 의 위쪽에 있을 경우 입니다.

따라서 가 (a)와 같을 때, 의 그래프는 (b)와 같습니다.

배운 내용 연습하기 (2)

의 그래프가 극점을 가지는 형태로 주어졌을 때, 의 그래프를 그려봅시다. 이때 또한 엄연히 합성함수이므로, sec-02에서 배운 논리를 그대로 이용하여 증감성을 분석할 수 있을 것입니다.

먼저 좌표가 방정식 의 해인 경우부터 찾아봅시다. 좌표가 ①의 해이면 그 점에서 와 가 만나고, 그 점은 위의 점입니다. (그림에서는 검은색 점으로 표현되어 있습니다.) 이러한 해들을 , , , 이라 할 때, 와 가 만나는 점들의 좌표가 ②의 해이고, 이 점들 또한 위의 점입니다. (그림에서는 색칠된 점으로 표현되어 있습니다.)

다음으로 의 극점의 좌표를 찾아봅시다. 의 극점의 좌표를 각각 , 라 하면, 이는 의 극점의 좌표입니다. 또한 와 의 교점의 좌표를 , 와 의 교점의 좌표를 라 하면, 이는 의 극점의 좌표입니다.

이때 주의해야 할 것은, 의 극점의 좌표를 찾았을 뿐이지, 극값을 찾은 것은 아니라는 점입니다. 극값을 찾으려면 에 극점의 좌표를 대입하여 , , , 를 찾아야 합니다. (그림의 흰색 점들은 위의 점일 뿐 위의 점이 아닙니다. 색칠된 점들이 위의 점입니다.) 좌표가 의 해인 경우와 혼동하기 쉬우므로 주의합시다.

따라서 의 그래프가 (a)와 같을 때, 의 그래프는 (b)와 같습니다.

아래 탐색기에서 슬라이더로 를 조절하면서 와 의 관계, 그리고 고정점(와의 교점)을 직접 확인해보세요.

주황 점선이 , 시안 실선이 , 회색 점선이 입니다. 이면 이고, 이면 (항등함수)입니다. 와의 교점이 의 고정점 이며, 이 점들은 동시에 의 근이기도 합니다.

연습 문제

가 그림과 같을 때, 의 그래프를 그리시오.

위에서 배운 방법을 차례로 적용합니다. ①의 해(와 의 교점의 좌표)를 먼저 찾아 의 특수점을 확보하고, 의 극점을 이용해 의 극점의 좌표를 모두 구합니다. 이후 각 구간에서 의 증감성을 결정하여 그래프를 완성합니다.

모든 실수 $x$에 대하여 $f(f(x)) = x$ 조건 해석하기

가 모든 실수 에 대하여 를 만족시키는 상황을 해석해봅시다.

위의 한 점 를 생각해봅시다. 그러면 이고, 모든 실수 에 대하여 이므로 를 대입하면 입니다. 즉, 가 위의 점이라면 도 위의 점임을 알 수 있습니다.

그런데 와 는 서로 에 대하여 대칭이므로, 의 그래프를 에 대하여 대칭이동하면 의 그래프가 됩니다. 이때 였다면 와 는 서로 같은 점 인데, 이는 대칭축인 위의 점이 됩니다.

따라서 위의 모든 점은 위의 다른 한 점과 에 대하여 대칭입니다. (와 의 교점은 에 대하여 대칭이동한 점이 원래의 점과 같습니다.) 이러한 성질을 가진 점들을 모아 그린 것이 의 그래프이므로, 의 그래프는 대칭축이 인 그래프가 됩니다.

방정식 의 근 조건 해석하기

`가 방정식 의 근 중 하나인 상황'을 해석해봅시다. 편의상 라 하고, 라 합시다.

에 대입하여 얻기

는 주어진 방정식 의 근이므로, 방정식의 양변에 를 대입하면 등식이 성립합니다. 따라서 ···①가 성립합니다. 이때 ①의 좌변에서 이므로 ···②를 얻습니다.

가 의 근임을 파악하기

②의 양변에 를 취하면 함수의 정의에 의해 이 성립합니다. 이때 좌변에서 이고 우변에서 이므로 가 성립함을 알 수 있습니다. 이는 가 방정식 의 근임을 의미합니다.

중간정리

지금까지 해석한 바에 따르면 다음의 결론을 얻습니다.

라 할 때, 가 방정식 의 근이고 가 위의 점이면, 가 방정식 의 근이고 가 위의 점이다.

와 의 관계에 따라 분류하여 마무리하기

인 경우

두 점 와 는 동일한 점 가 되고, 이와 동시에 는 위의 점이기도 합니다. 이는 `와 의 교점의 좌표'가 방정식 의 근임을 의미합니다. ···③

인 경우

(편의상 인 경우만 나타냈습니다. 인 경우는 와 의 위치만 반대로 바뀔 뿐이고, 논리 전개는 모두 동일합니다.)

두 점 와 는 서로 에 대하여 대칭입니다. 이때 가 두 점 , 를 지납니다. 가 연속함수이므로 를 만족하는 실수 가 구간 에 적어도 하나 존재합니다. (그래프를 통해 직관적으로 이해할 수도 있고, 방정식 를 생각하여 으로 변형한 뒤, 함수 가 연속임을 이용하여 구간 에서 사잇값 정리를 이용하면 논리적으로 실수 의 존재를 보일 수 있습니다.)

이때 는 와 의 교점이므로, ③에 의해 는 방정식 의 근임을 알 수 있습니다. 따라서 , , 인 실수 를 찾으면, 방정식 의 근을 적어도 두 개 확정적으로 얻을 수 있으며, 그 중 하나는 , 나머지 하나는 와 사이에 있는 입니다.

배운 내용 적용하기

이제 배운 내용을 적용하여 다음의 문제를 풀어봅시다.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 에 대하여 방정식

의 모든 실근이 , , , , 이다.

일 때, 의 값을 구하시오. (단, )

방정식 의 실근 중 가장 간단한 경우는 인 입니다. 그런데 는 삼차방정식이므로 최소 개, 최대 개의 실근을 갖습니다. 그러면 방정식 의 서로 다른 실근의 개수가 이므로 이 방정식의 실근 중 인 것은 최소한 개 있음을 알 수 있습니다.

방정식 의 실근 중 인 것을 라 하고, 라 하면, 입니다. 이때 가 성립하는데, 를 이용하기 위해 주어진 방정식에 를 대입해보면 가 성립합니다. 따라서 또한 방정식 의 실근이고, 두 점 와 는 서로 에 대하여 대칭입니다. (그림에서는 인 경우로 표현되어 있지만, 인 경우는 어차피 와 의 입장만 서로 바뀌었을 뿐 결과적으로 동일한 상황이 됩니다.)

또한 , 이므로 사잇값 정리에 의해 두 구간 , 에 각각 인 가 적어도 하나 존재합니다. 이는 와 의 교점이 적어도 하나 존재함을 의미합니다.

한편 좌표평면에서 두 점 , 를 보면 와 가 열린구간 에서 교점을 적어도 하나 가질 것을 예상할 수 있습니다. (논리적으로 설명하려면, 함수 를 생각하여 , 임과 사잇값 정리를 이용하면 됩니다.) 이 교점의 좌표를 라 하면 가 위의 점이므로, 이 또한 방정식 의 근이 됩니다.

이제 지금까지 알아낸 정보를 문제의 상황과 엮어봅시다. 인 의 개수는 이고, 의 근은 인 근과 인 근으로 나뉩니다. 이때 후자인 인 는 쌍으로 존재합니다. 인 를 각각 , 라 하면, 는 두 점 와 를 지납니다.

한편 다섯 개의 근의 대소관계를 살펴보면, 보다 작은 근 하나, 와 사이의 근 하나, 보다 큰 근 하나는 모두 인 근이 됩니다. 문제에서 이므로 , 이고, 는 와 을 지나며, , , 입니다.

이제 식을 작성해 답을 구해봅시다. 이므로 라 할 수 있습니다. , 이므로 이고 입니다. 또한 입니다. 세 식을 연립하면 를 얻습니다. 따라서