두 함수 , 에 대하여 의 치역이 의 정의역의 부분집합이며, 와 가 미분가능할 때, 함수 를 해석해봅시다.

전통적인 방법과 그 한계

세 그래프 , , 의 위치 관계를 알 때 를 그리는 전통적인 방법을 배워봅시다.

, , 일 때, 위의 한 점 와 위의 한 점 를 찾으면 위의 점 를 잡을 수 있습니다. 이를 그리기 위해 전통적으로 사용되는 방법은 다음과 같습니다.

1. 축 위의 점 을 이용해 를 잡고, 축 위의 점 를 잡는다.
2. 축 위의 점 와 를 이용해 축 위의 점 을 잡는다.
3. 축 위의 점 을 이용해 를 잡고, 를 잡는다.

이는 자연스러운 발상이기는 하지만, 전체의 그래프를 그리는 것이 아니라 한 점을 찾는 방법에 그칠 뿐이고, 그마저도 와 의 관계가 시각적으로 명확히 드러나지 않는다는 단점이 있습니다. 따라서 이 방법은 잠시 접어두고, 다른 방법을 알아봅시다.

합성함수를 분석하는 새로운 방법 : 극점만 찾아서 그리자

미분가능한 함수의 그래프는 극점의 좌표를 찾고, 각각의 극점에 대하여 극값(극점의 좌표)를 찾고 나면, 나머지 구간에서는 증감성이 확정되어 쉽게 그릴 수 있습니다. 그런데 우리는 합성함수의 극점을 찾는 방법을 배운 적이 없습니다. 정확히는 미적분 선택자만 배우고, 미선택자는 배우지 않습니다. 그래서 이 단원에서는 미적분을 선택하지 않고도, 합성함수의 극점을 찾아 그 그래프를 그리는 새로운 방법을 배워볼 것입니다.

정리. 함수 가 에서 극값을 가지면 ① 또는 ②가 성립한다.

① 함수 가 에서 극값을 갖는다.

② 함수 가 에서 극값을 갖는다.

역으로 ① 또는 ②가 성립하면 가 에서 극값을 갖는다.

이 정리를 이용하면 다음과 같은 방법으로 합성함수 의 극점의 좌표를 찾을 수 있습니다.

1. 의 극점의 좌표를 찾는다.
2. 의 극점의 좌표 를 찾고, 인 를 찾는다.
3. ①과 ②에서 찾은 가 의 모든 극점의 좌표이다.

이렇게 극점의 좌표 , , , 을 찾고 나면, 이므로 직접 대입하여 그 값을 찾거나, 전통적인 방법에서 배운 바와 같이 좌표를 찾을 수 있을 것입니다.

앞으로는 위 정리와 방법이 어떻게 도출되었는지 그 과정을 배워봅시다. 다만, 논의의 편의를 위하여 와 는 정의역 일부 구간에서 상수함수도, 그 함수도 아님을 전제로 합니다. ( 또는 가 상수함수이면 도 해당 구간에서 상수함수이니 의미가 없습니다.)

앞으로 펼쳐질 논리의 흐름은 대략적으로 다음과 같습니다. 이 흐름을 숙지한 상태에서 글을 읽어나가며 사고하시기 바랍니다.

1. 특정 구간에서 와 의 증감성이 어떠한지를 살펴보고, 각각의 경우 의 증감성을 확인한다.
   • 와 의 증감성이 같으면 가 증가한다.
   • 와 의 증감성이 다르면 가 감소한다.
   • 그러니 를 분석할 때에는 증가구간들과 감소구간들로 쪼개자.
2. 또는 인 지점이 구간에 포함된다면, 그 지점을 기준으로 구간을 쪼갠 후, 각각의 구간에서 , , 의 증감성을 확인한다.
3. 모든 경우를 확인해본 결과, 위의 정리와 결론을 얻는다.

와 의 증감이 일정하고 , 인 경우

와 의 증감성이 동일하면 가 증가합니다. 가 구간 에서 증가하고 가 구간 에서 증가하면 는 구간 에서 증가합니다. 가 구간 에서 감소하고 가 구간 에서 감소하면 는 구간 에서 증가합니다. (가 감소함수이므로 이고, 이로 인해 구간을 잡을 때 가 아닌 로 잡아야 합니다. 많은 학생들이 혼동하는 부분이므로 주의합시다.)

와 의 증감성이 다르면 가 감소합니다. 가 구간 에서 증가하고 가 구간 에서 감소하면 는 구간 에서 감소합니다. 가 구간 에서 감소하고 가 구간 에서 증가하면 는 구간 에서 감소합니다. (후자에서도 구간 끝을 설정할 때 주의해야 합니다.)

또는 인 경우가 포함된 경우 (4가지)

$x = a$에서 $g$가 극값을 갖는지의 여부'와 에서 가 극값을 갖는지의 여부'에 따라 가지로 분류할 수 있습니다. 지금까지 배운 방법들을 이용하여, 각 구간에서 , 의 증감성에 따라 의 그래프를 그려봅시다.

1) 와 가 모두 극값을 갖지 않는 경우

`에서 가 극값을 갖지 않고, 에서 가 극값을 갖지 않을 때'입니다. 총 가지 경우가 있으며, 모든 경우에서 가 극값을 갖지 않습니다.

2) 만 극값을 갖는 경우

`에서 가 극값을 갖고, 에서 가 극값을 갖지 않을 때'입니다. 총 가지 경우가 있으며, 모든 경우에서 가 극값을 갖습니다.

3) 만 극값을 갖는 경우

`에서 가 극값을 갖지 않고, 에서 가 극값을 가질 때'입니다. 총 가지 경우가 있으며, 모든 경우에서 가 극값을 갖습니다.

4) 와 가 모두 극값을 갖는 경우

`에서 가 극값을 갖고, 에서 가 극값을 가질 때'입니다. 총 가지 경우가 있으며, 모든 경우에서 가 극값을 갖습니다.

정리와 적용

지금까지 배운 내용을 통해 순차적으로 알아본 사실을 정리해봅시다. 함수 가 에서 극값을 가지면 ① 또는 ②가 성립합니다.

① 함수 가 에서 극값을 갖는다.

② 함수 가 에서 극값을 갖는다.

역으로 ① 또는 ②가 성립하면 가 에서 극값을 갖습니다. 따라서 우리는 다음과 같이 합성함수 의 극점의 좌표를 찾을 수 있습니다.

1. 의 극점의 좌표를 찾는다.
2. 의 극점의 좌표 를 찾고, 인 를 찾는다.
3. ①과 ②에서 찾은 가 의 모든 극점의 좌표이다.

기하 선택자와 확률과 통계 선택자는 이 정도로만 알면 충분합니다. 미적분 선택자들은 이렇게 해석해야 하는 이유를 합성함수의 미분법과 연관지어 추가적으로 탐구할 수 있습니다. 합성함수 미분법에 의하면 인데, 이 식에서 부호의 변화는 의 부호가 바뀔 때 또는 의 부호가 바뀔 때 일어나기 때문입니다.

이렇게 증감성 변화를 찾고 나면 각 구간에서의 증감 여부는 쉽게 알 수 있습니다. 예를 들어 와 가 각각 (a), (b)와 같을 때, 는 (c)와 같이 그려집니다. ①에서 를 찾고, ②에서 를 만족하는 두 실수 , 를 찾고, ③에서 세 점 , , 가 의 극점임을 알 수 있습니다. 그 후 의 정의역을 , , , 의 네 구간으로 나누고, 각 구간에서의 증감성이 일정함을 이용하여 그래프를 그리면 됩니다.

에서 부호가 바뀌고 에서 부호 바뀔 때, 부호도 바뀔까?

에서 가 극값을 갖고 에서 가 극값을 가지면, 에서 의 부호가 바뀌고, 에서 의 부호가 바뀝니다. 이러한 상황에서 다음과 같은 의문이 들 수 있습니다.

는 에서 과 의 부호가 동시에 바뀔 수도 있지 않을까? 만약 그렇다면 에서 부호가 안 바뀔 수도 있을 것 같은데? 그럼 가 에서 극값을 가지지 않을 텐데?

그러나 우리가 앞서 모든 그래프의 경우의 수를 따져 확인해보았듯이, 사실 우려했던 상황은 발생하지 않습니다. 이는 에서 가 극값을 갖고 에서 가 극값을 갖는다면, 의 부호는 바뀌지만 의 부호가 바뀌지 않기 때문에 결과적으로 의 부호가 바뀌기 때문입니다.

이를 수식으로 보여봅시다. 가 에서 극댓값 을 갖고, 가 에서 극댓값 를 갖는다고 가정해봅시다. 이때 를 포함하는 어떤 열린구간 에서 와 은 각각 다음과 같고, 를 포함하는 어떤 열린구간 에서 와 은 각각 다음과 같습니다.

① 에서 ,

① 에서 ,

① 에서 ,

② 에서 ,

② 에서 ,

② 에서 ,

이때 구간 에서 를 따지면 각각 다음과 같습니다.

① 일 때: , , , 이므로 입니다.

② 일 때: , , , 이므로 입니다.

③ 일 때: , , , 이므로 입니다.

따라서 구간 에서 의 부호가 바뀜을 알 수 있습니다. 이는 와 가 모두 극대일 때를 살펴본 것이지만, 극소일 때에도 극대에서와 같은 방법을 이용하여 확인할 수 있습니다.

아래 탐색기에서 세 가지 프리셋을 바꿔보면서 , , 의 관계를 직접 확인해보세요.

주황 점선이 속함수 , 보라 점선이 겉함수 , 시안 실선이 합성함수 입니다. 프리셋을 바꿔보면서 각 함수의 치역이 어떻게 다른 함수의 정의역으로 들어가는지 확인하세요.

연습 문제

와 가 그림과 같을 때, 의 그래프를 그리시오.

위에서 배운 방법을 이용합니다. 먼저 ①에서 의 극점의 좌표를 찾고, ②에서 의 극점의 좌표를 이용해 인 를 찾습니다. 이렇게 얻은 모든 가 의 극점의 좌표이며, 각 구간에서 와 의 증감성을 비교하여 의 증감성을 결정한 후 그래프를 스케치합니다.