고교에서 출제되는 극한 문제는 겉보기엔 무척 다양해 보이지만, 풀이에 쓰이는 도구는 단 세 가지 로 요약됩니다. 이 셋을 "극한 계산의 대전제" 라 부릅니다.

1. 기본 극한과 기본 연속함수를 숙지한다.
2. "수렴하는 극한의 성질" 을 이용한다.
3. 치환해서 극한값을 구할 수 있다.

이 섹션에서는 각각을 엄밀하게 다루고, 각 도구가 어떤 상황에서 어떻게 쓰이는지 정리합니다.

① 기본 극한과 기본 연속함수

그리고 다음 함수들은 연속함수 입니다.

• 다항함수, 유리함수, 무리함수
• (미적분 선택자) 지수함수, 로그함수, , , ,

이 사실들은 고교과정에서는 증명 없이 받아들입니다. 엄밀한 증명은 대학 과정의 - 논법이 필요합니다.

"연속함수에 불연속점이 있다?"

위에서 유리함수·무리함수가 연속함수라고 했습니다. 하지만 여러분은 와 의 그래프에 불연속인 점이 존재함을 알고 있습니다. 이름은 연속함수인데 불연속점이 있다는 말이 모순처럼 느껴질 수 있습니다.

해답은 연속함수의 정의에 있습니다. 연속함수의 정의는 "정의역 내의 임의의 실수 에 대하여 에서 연속인 함수" 입니다.

이에 따르면 은 에서 그래프가 끊기긴 하지만, 은 정의역의 원소가 아니므로 연속함수인지에 영향을 미치지 못합니다. 따라서 은 연속함수의 정의에 정확히 부합합니다.

동시에 " 은 에서 불연속" 이라고 말하는 것도 올바른 진술입니다. 이를 일반화하면:

연속함수 의 정의역에 속하지 않는 실수 이 존재할 때, 는 에서 항상 불연속이다.

② 수렴하는 극한의 성질

, 일 때 (아랫첨자는 동일) 다음이 성립합니다.

3. ( 는 상수)
5. (단, )

5번의 단서 조항이 핵심입니다

5번에 붙어 있는 조건이 대부분의 극한 문제의 출제 포인트입니다. 이 조건은 뒤집어 보면 다음을 시사합니다.

임에도 불구하고 가 수렴하는 경우가 존재할 수 있다.

이때 반드시 성립하는 명제:

, 이면 이다.

증명. 두 등식을 각 변끼리 곱하면

좌변을 수렴하는 극한의 성질 4번 (곱) 로 묶으면

따라서 .

놀라운 결과. 분모 인 상황에서도 수렴하는 극한이 있고, 그런 경우라면 반드시 분자 입니다.

분모 극한의 분해 전략

이고 일 때, 다음과 같이 분해합니다.

여기서 , 은 으로 수렴하는 부분, , 는 이 아닌 값 (, ) 으로 수렴하는 부분으로 잡습니다. 그러면

는 로 수렴하므로 (5번, 단서 충족), 문제는 의 극한을 구하는 문제로 축소됩니다. 이것이 분모 극한의 일반적인 풀이 전략 입니다.

③ 치환

를 구할 때, 에 포함된 특정 부분을 라 두고 극한의 주어를 에서 로 바꾸는 테크닉입니다.

치환 명제. 일 때 이면

가장 흔한 치환은 로 과 를 맞바꾸는 것입니다.

슬라이더로 를 쪽으로 움직여 보세요. 대응되는 가 방향으로 멀어지는 것을 직접 확인할 수 있습니다.

연속함수의 재해석

에서 연속인 함수 에 대해 연속의 정의는 다음과 같습니다.

여기서 이므로 우변의 를 이로 대체하면:

즉 연속함수 는 와 의 순서를 바꾸어도 값을 유지하는 함수 입니다. 이는 연속의 새로운 해석입니다.

합성된 연속함수의 극한

"치환" 과 "연속함수의 재해석" 을 결합하면 합성된 연속함수의 극한을 간단히 다룰 수 있습니다.

에서 연속인 와 에서 연속인 에 대해:

증명. 라 두면 는 에서 연속이므로 . 로 치환하면 일 때 이므로

"치환" vs "변수 교체" 주의

와 같은 식에서 변수가 에서 로 바뀌지만, 이것은 치환이 아니라 단순한 변수 교체 입니다.

이렇게 변수를 바꾸어도 상관없는 이유는 주어진 극한의 주인공이 " 와 " 가 아니라 " 와 " 이기 때문입니다. 극한에서 논하고 싶은 함수는 이고, 수렴 여부를 따지고 싶은 위치는 입니다. 와 는 와 를 이어주는 매개변수일 뿐입니다.

비슷한 예로 의 에서의 함숫값과 의 에서의 함숫값이 모두 으로 같은 것, 정적분에서 인 것 등이 같은 원리입니다.

마무리

세 가지 대전제는 모든 극한 문제를 풀 수 있는 도구의 전부 입니다. 다음 섹션에서는 이 도구들을 사용해 실제 유리·무리함수 극한을 체계적으로 계산합니다.