sec-03, sec-04 에서 익힌 도구들을 실제 문항에 적용해봅시다. 아래 12 개 예제는 극한의 대표 유형을 고루 포함합니다. ( 인 상수이고, 와 는 연속함수입니다.)

①

분모·분자가 모두 으로 수렴 → 공통인수 로 분해·약분.

②

최고차수가 같은 유리함수 → 최고차항 계수의 비.

③

로 치환 하여 로 변환합니다. , 이므로 , 그리고 . 따라서 분모는

에서 이 식은 로 수렴하므로, 원래 극한은

④

지수함수의 몫은 지수의 차로 묶을 수 있습니다 (합성 연속함수의 해석).

에서 (이차항이 지배), 그리고 가 연속이므로

⑤

로 분해합니다.

에서 이므로 . 따라서 극한은 .

⑥

마찬가지로 .

두 경우 모두 가 지배하므로 (나머지 부분은 유한 상수로 수렴),

⑦

은 에서 진동하지만 유계입니다 (). 샌드위치 정리 를 적용합니다.

양쪽 모두 에서 으로 수렴하므로

⑧

로 두면 이고, 주어진 식은 즉 에서의 미분계수. 이므로

⑨

으로 두면 . 주어진 식은 .

, .

⑩ 일 때

미분계수 꼴이 아니지만, 유사 미분계수 꼴 로 변형합니다. 일 때 이므로 분자를

로 쪼갤 수 있습니다. 앞 부분은 라 두면 에서 . 뒷 부분은

곱하면 .

⑪

라 두면 이고 미적분의 기본정리 에 의해 .

주어진 식은

⑫

, , .

주어진 식은

마무리

12 개 예제를 통해 극한 계산의 세 대전제 — 기본 극한, 수렴 극한의 성질, 치환 — 이 어떻게 조합되는지 보았습니다. 각 유형에 쓰이는 도구는 겉으로는 다양해 보이지만 내부 논리는 모두 이 셋 안에 있습니다.

basic-2 는 여기서 마무리됩니다. 다음 basic-3 "여러가지 함수의 분석" 으로 이어집니다.