sec-03 의 대전제를 실제 함수에 적용해봅시다. 무리함수의 극한은 가 에서 연속임을 이용해 합성 연속함수로 처리되므로, 핵심은 유리함수의 극한 입니다. 이 섹션에서는 , , 의 세 유형과, 그 밖의 주요 극한 풀이 패턴을 다룹니다.
몸풀기
기본극한 을 이용하여 다음을 확인할 수 있습니다.
이들은 수렴하는 극한의 성질 (곱) 을 반복 적용한 결과입니다.
계산
인 극한은 로 치환해 로 환원할 수 있으므로, 만 다루면 충분합니다.
두 다항함수 , 에 대해 를 차수에 따라 분류합니다.
Case 1:
분모와 분자에 을 곱합니다.
분자는 모든 항이 으로 가고, 분모는 으로 수렴하므로 .
Case 2:
같은 방식으로 분모와 분자에 을 곱하면
즉 최고차항 계수의 비 로 수렴합니다.
Case 3:
Case 1 에 의해 . 따라서
이 극한의 분모가 으로 수렴하므로, 수렴하지 않고 발산합니다.
g(x) = 3 x2 + 2x + 1, f(x) = 2 x2 + x + 5
분류n = m
lim (x → ∞) g(x) / f(x)3 / 2
분자·분모 차수를 슬라이더로 조절하며 세 케이스를 직접 확인하세요. 주황 점선은 수렴할 때의 극한값입니다.
정리
분모의 최고차수가 분자의 최고차수보다 크거나 같으면 수렴한다.
- 분모의 최고차수가 크면 으로 수렴.
- 최고차수가 서로 같으면 최고차항 계수의 비로 수렴.
이 결과를 암기하는 것보다 중요한 것은, 이 결과를 끌어낸 유도 과정의 논리 입니다. 외운 결과가 바로 적용되는 2–3 점 문항과 달리, 4 점 고난도 문항은 유도 과정에 대한 이해가 필수적입니다.
계산
대전제 ②의 분해 전략을 그대로 적용
sec-03 에서 본 분모 극한의 분해 전략을 에 적용합니다.
이고 일 때, , 로 분해하여
여기서 , 에는 이나 " 으로 수렴하는 무리식" 이 배치됩니다. 과 은 분모와 분자의 공통인수 가 되어 약분되고, 나머지 는 수렴하는 몫으로 계산됩니다.
치환으로 문제로 환원
로 치환하면 일 때 가 됩니다. 이렇게 변환하면 계산에서 익힌 논리가 그대로 적용됩니다.
정리 (최저차수 판정)
분자의 최저차수가 분모의 최저차수보다 크거나 같으면 수렴한다.
- 분자의 최저차수가 크면 으로 수렴.
- 최저차수가 서로 같으면 최저차항 계수의 비로 수렴.
와 대칭적인 결과입니다. 유도 과정을 이해했다면 자연스럽게 읽힙니다.
계산
인 극한은 식을 변형하여 이 분모·분자의 공통인수로 나타나도록 만든 후, 이를 약분해 수렴하는 몫으로 처리합니다. 이는 에서 가 공통인수가 되는 상황의 자연스러운 일반화입니다.
그 밖의 극한
대소관계로 풀이하는 극한 (샌드위치 정리)
대표적으로 "그 함수" 라 불리는 유명한 함수가 있습니다.
식에 공통으로 포함된 는 에서 진동 하므로 수렴하지 않습니다. 그러나 이라는 부등식을 이용해 를 부등식으로 감쌀 수 있고, 함수의 극한의 대소관계로 극한을 구해 의 연속성을 증명할 수 있습니다.
x → 0 에서 0 으로 수렴
봉투y = -|x| ≤ f(x) ≤ y = |x|
x → 0 극한0 (샌드위치 정리에 의해)
x → 0 에서 양 봉투가 모두 0 으로 수렴하므로, 사이에 끼인 f(x) 도 0 으로 수렴합니다.
를 토글하며 양 봉투 (주황 점선) 안에서 진동하는 모양을 확인하세요. 봉투가 에서 으로 수렴하므로 끼인 함수도 으로 수렴합니다.
의 경우 ( 도 같은 논리):
에 를 곱하면
( 의 부호에 따라 부등식의 방향 문제가 있을 수 있으나, 양쪽에 를 곱한 형태로 정리하면 자연스럽게 해결됩니다.) 이므로 함수의 극한의 대소관계에 의해 . 따라서 은 에서 연속입니다.
미분계수로 해석하는 극한
그냥 극한을 미분계수로 해석
주어진 극한에서 분자를 적절히 변형하여 "함수함숫값", 즉 꼴로 만들면, 미분계수의 정의 꼴 로 변형할 수 있습니다. 그러면 극한을 계산하는 대신 미분해서 를 구해 답을 낼 수 있습니다.
유사 미분계수 꼴
미분계수의 정의와 유사하지만 완전히 같지는 않은 꼴이 출제됩니다. 예:
식을 변형하여 미분계수의 정의 꼴로 만들어낸 뒤, 미분계수의 실수배로 답을 냅니다.
정적분으로 정의된 함수의 극한
정적분으로 정의된 함수 에 대한 극한 문제는 미적분의 기본정리 를 활용합니다. , 이므로, 예를 들어
로 해석할 수 있습니다. 극한 문제이자 미분과 적분의 관계 이해를 확인하는 문제라 출제자들이 선호합니다.
마무리
지금까지 대전제를 구체적인 함수에 적용해 유형별 풀이 패턴을 익혔습니다. 다음 섹션은 이들을 종합한 문제풀이 로, 12 개의 대표 예제를 통해 각 도구가 실제로 어떻게 선택·결합되는지 확인합니다.