교육과정에서 함수를 처음 배울 때는 단순한 것에서 복잡한 것으로, 필요가 생길 때마다 새로운 함수를 도입합니다. 그 순서를 따라가면 각 함수가 왜 필요했는지가 보입니다.

함수를 클릭하면 정의역·치역·주요 특징이 펼쳐집니다. 교육과정 도입 순서대로 배치되어 있습니다.

1. 일차함수

가장 단순한 함수. 모든 분석의 출발점입니다.

• 정의역 / 치역: 모두 실수 전체
• 대칭: 그래프 위의 임의의 점에 대해 점대칭 — 중심은
• 점근선: 없음
• 핵심: 기울기 가 증감성과 방향을 완전히 결정. 이후 모든 함수의 "선형 근사"는 결국 일차함수입니다.

2. 이차함수

• 정의역: 실수 전체, 치역: 이면 (반닫힌 구간)
• 대칭축: (축에 대한 선대칭)
• 표준형: (꼭짓점 )
• 인수분해형: (두 근 )
• 핵심: 최솟값·최댓값이 존재하는 최초의 함수. 치역이 반닫힌 구간으로 제한됩니다.

3. 절댓값함수

교육과정에서 조각함수(piecewise function) 를 처음 만나는 순간입니다.

• 정의역 / 치역: 이면 치역
• 대칭: 꼭짓점 를 지나는 수직선에 대한 선대칭
• 핵심: 에서 미분불가능 (좌미분 , 우미분 ). 이 점이 이후 등장하는 "미분불가능점" 논의의 가장 친숙한 예시입니다.

4. 유리함수

교육과정에서 점근선을 처음 만나는 함수입니다.

• 정의역: (실수 전체에서 제외), 치역:
• 점근선: 수직 점근선 , 수평 점근선
• 대칭: 중심 에 대한 점대칭, 두 점근선에 대한 선대칭
• 핵심: 값이 특정 점에 가까워질수록 함숫값이 발산. 이 행동이 "점근적 행동"의 원형입니다.

5. 무리함수

이차함수의 역함수입니다.

일때

• 정의역: (반닫힌 구간으로 제한), 치역: (일 때)
• 점근선: 없음
• 핵심: 정의역이 처음으로 반닫힌 구간으로 제한됩니다. 이차함수와 역함수 관계이므로 그래프는 에 대해 대칭.

6. 지수함수와 로그함수

서로 역함수 관계인 한 쌍입니다.

• 지수함수 : 정의역 실수 전체, 치역 (열린 구간), 수평 점근선
• 로그함수 : 정의역 , 치역 실수 전체, 수직 점근선
• 두 그래프의 교점: 의 값에 따라 교점 개수가 달라집니다. 이 분석은 Algebra 파트에서 자세히 다룹니다.
• 핵심: 정의역과 치역이 모두 열린 구간으로 제한됩니다. 처음으로 지수적 증가·감소를 수식으로 다루게 됩니다.

7. 삼각함수

교육과정에서 주기함수를 처음 만나는 순간입니다.

• , : 정의역 실수 전체, 치역 , 주기
• : 정의역 ( 정수), 치역 실수 전체, 주기 , 수직 점근선
• -- 관계: ,
• 기하 연계: 단위원 위의 점 가 각도 를 결정. 삼각함수는 기하와 해석학의 다리입니다.
• 핵심: 처음으로 유계(bounded)이면서 단조가 아닌 함수. 주기성 때문에 정의역을 제한해야 역함수를 정의할 수 있습니다.

흐름 정리

각 함수가 도입될 때마다 새로운 개념이 함께 등장합니다:

| 함수 | 새로 등장한 개념 | |------|----------------| | 일차 | 기울기, 직선 | | 이차 | 이차, 볼록성, 최솟값 | | 절댓값 | 조각함수, 미분불가능점 | | 유리 | 점근선, 발산 | | 무리 | 역함수, 제한된 정의역 | | 지수·로그 | 지수 성장, 무리수 | | 삼각 | 주기성, 기하 연결 |

이 일곱 가지 함수를 머릿속에 정리했으면, 이제 다항함수를 도함수의 관점에서 더 깊이 분석할 준비가 됐습니다.