다항함수 가 을 인수로 가질 때, 그래프는 에서 어떻게 행동할까요? 중복도(multiplicity)가 그 답을 결정합니다. 나머지정리는 이 구조를 대수적으로 다루는 핵심 도구입니다.

중복도별 행동 패턴

() 로 쓸 때, 에서의 중복도 에 따라:

1중근 ()

• 그래프가 에서 축을 뚫고 지나갑니다 (crossing)
• 접선의 기울기 이므로 수평 접선이 아닙니다
• 전형적인 영점의 모습

2중근 ()

• 그래프가 에서 축에 접합니다 (touching) — 극점
• 의 부호가 극대/극소를 결정
• 그래프가 축 위(또는 아래)에서 접했다가 다시 올라(내려)옵니다

3중근 ()

• 그래프가 에서 접면서 뚫고 지나갑니다 (inflection crossing)
• 변곡점이 축 위에 있는 경우
• 접선은 수평()이지만, 그 점에서 증감성이 바뀌지 않음

4중근 ()

• 그래프가 에서 접합니다 (touching) — 극점, 변곡점 없음
• 2중근과 비슷해 보이지만, 축에 더 납작하게 접함
• 이면 극소

중복도를 1에서 4까지 바꿔가며 근방의 그래프 행동을 비교해보세요. 홀수 중복도 = 뚫고 지나감, 짝수 중복도 = 접함입니다.

핵심 규칙

홀수 중복도 → 축을 뚫고 지나감 (부호 변환 O)

짝수 중복도 → 축에 접함 (부호 변환 X)

이 규칙은 의 부호가 가 를 지날 때 변하는지 여부에서 나옵니다. 이 홀수이면 부호가 바뀌고, 짝수이면 바뀌지 않습니다.

나머지정리와 연결

상수 나머지

를 로 나눈 나머지가 상수 이면: .

이를 이용하면 수직이동으로 원하는 만큼의 중복근을 만들 수 있습니다.

예: 가 에서 단순히 지나친다고 하자. 는 를 인수로 가집니다. 를 빼면 에서 1중근이 생깁니다.

일차 나머지 — 미분과의 다리

를 으로 나눈 나머지가 일차식 이면:

대입:

양변을 에 대해 미분 후 대입:

따라서 나머지 는 에서의 접선입니다. 나머지정리와 미분이 같은 정보를 서로 다른 언어로 표현하는 것입니다.

나머지접선의방정식

역방향 활용: 상수를 더해 중복근 만들기

전략: 의 그래프를 수직이동해 원하는 점에서 중복근이 생기도록 만든 뒤, 이동된 함수를 분석하고 다시 되돌립니다.

예를 들어 "의 실근이 에서 3중근"이라는 조건은 "가 을 인수로 가진다"는 뜻입니다. 이렇게 상수 를 역으로 결정하는 문제가 전형적인 응용입니다.

인수정리와 조립제법 복습

인수정리: 가 의 인수.

중복도가 인 경우: 이고 .

이를 조립제법과 결합하면 다항식을 인수분해하는 체계적인 방법이 됩니다:

1. 유리근 후보 시도 → 1중근 발견
2. 조립제법으로 분해
3. 이면 는 2중근 → 반복

분석의 완성

인수정리·나머지정리는 다항함수를 "근의 구조" 관점에서 분석하는 도구입니다. sec-03의 도함수 부호 분류와 결합하면:

• 도함수 → 증감성, 극점의 위치
• 인수·나머지 → 근의 중복도, 그래프가 축을 어떻게 지나는지

두 관점이 합쳐질 때 다항함수의 그래프를 완전히 읽을 수 있게 됩니다.