다항함수의 분석은 도함수의 부호 패턴이 핵심입니다. 상수함수에서 출발해 부정적분을 한 번 취할 때마다 차수가 올라가며, 각 단계에서 그래프의 모양이 어떻게 결정되는지를 추적합니다.
체인 개요
차차차차
각 단계에서 "도함수의 부호 = 그래프의 증감성" 규칙이 반복됩니다.
0단계: 상수함수
이면 는 상수함수다.
증명은 평균값 정리로. 임의의 에 대해
따라서 는 상수. 이 단순한 결론이 나머지 모든 분석의 논리적 기반입니다.
1단계: 일차함수 ()
(상수) 이므로 .
증감성: 실수 전체에서 순증가
대칭: 근 에 대한 점대칭 (일차함수는 반드시 점대칭)
그래프 분류: 분류 불필요. 기울기 부호가 모든 것을 결정.
2단계: 이차함수 ()
(일차). 인 점이 정확히 하나: (대칭축).
대칭: 직선 에 대한 선대칭
볼록성: → 아래로 볼록 (위로 오목)
근의 개수에 따른 분류 (판별식 ):
| 표기 | 조건 | 특징 |
|------|------|------|
| | | 실근 없음, 축과 만나지 않음 |
| | | 이중근 (꼭짓점이 축 위) |
| | | 두 실근 (축을 두 점에서 만남) |
3단계: 3차함수 ()
(이차). 이차 도함수의 최솟값이 나타나는 점 가 핵심입니다.
변곡점 의 좌표를 라 할 때, 의 부호에 따라 3차함수를 분류합니다.
3차함수 분류
| 표기 | 조건 | 의미 |
|------|------|------|
| | | 극값 없음, 순증가 (변곡점만 존재) |
| | | 변곡점 가 축 위 (쉼점) |
| | | 극대·극소 두 개 존재 |
f'(x) 최솟값 < 0 → 극대 + 극소
f'(x) 의 근x = -1, x = 1
f(x) 행동극대 (-1, 2), 극소 (1, -2)
슬라이더로 의 값을 조절해보세요. , , 세 가지 유형 간 전환을 확인할 수 있습니다.
경우의 다섯 점 등차수열
이고 인 3차함수에서 극대점·변곡점·극소점의 좌표와 좌표는 각각 등차수열을 이룹니다.
극대점을 , 변곡점을 , 극소점을 이라 하면:
는등차
도등차
이 성질은 3차함수의 점대칭성 (변곡점이 대칭 중심) 에서 자연스럽게 나옵니다. 구체적으로 극대·극소의 중간점이 변곡점이므로 세 점의 좌표가 등차를 이루고, 점대칭에 의해 좌표도 등차를 이룹니다.
4단계: 4차함수 ()
가 3차함수. 3차함수의 그래프는 반드시 점대칭이므로, 는 반드시 선대칭 (대칭축이 존재).
의 변곡점 가 축 위에 있는지 여부가 4차함수의 모양을 결정합니다.
"인싸"형과 "아싸"형
| 유형 | 의 분류 | 의 특징 |
|------|---------------|---------------|
| 인싸 | | 극점이 3개 (극대 , 극소 , 극대 또는 반대) |
| 아싸 | 또는 | 극점이 1개 (최솟값 하나만 존재) |
"인싸"형은 축과 최대 4번 만날 수 있고, "아싸"형은 축과 최대 2번 만납니다.
인 경계 케이스 ( 대응) 에서는 극점이 하나이지만 그 점에서 이기도 합니다.
요약: 차수별 분류표
| 차수 | 도함수 | 주요 분류 기준 | 분류 |
|------|--------|---------------|------|
| 1차 | 상수 | 기울기 부호 | 증가/감소 |
| 2차 | 1차 | 판별식 | , , |
| 3차 | 2차 | 부호 | , , |
| 4차 | 3차 | 의 분류 | 인싸/아싸 |