Graph 챕터에서는 함수의 증감성, 극점, 대칭성, 볼록성을 그림으로 받아들이고 직관적으로 이해했습니다. 이제 Basic 챕터의 첫 파트 "수식으로 다루는 함수의 성질" 에서는 같은 내용을 수식과 증명으로 엄밀하게 다시 세웁니다.

이 파트의 목표

• 증감성과 극점·최점 (sec-01) 극점에서 임을 증명한 뒤, 이 결과를 디딤돌 삼아 롤의 정리 → 평균값 정리 → 증감성과 도함수의 관계 의 4 단계 증명 체인을 완성합니다.

• 홀짝성의 대수적 규칙 (sec-02) 홀함수·짝함수의 합·차·곱·합성·적분의 대수 규칙을 모든 경우로 정리합니다. 홀 = , 짝 = 의 부호 곱셈 비유가 유용합니다.

• 일반 대칭성으로 확장 (sec-03) 홀짝성은 원점 대칭의 특수 케이스입니다. 같은 대칭축/중심을 가진 함수끼리의 연산 규칙을 평행이동 을 통해 홀짝성 규칙으로 환원합니다.

• 볼록성과 이계도함수 (미적분 선택자 전용) (sec-04) 증가아래로볼록 의 동치 관계와, 변곡점 판정의 엄밀화를 다룹니다.

왜 엄밀화가 필요한가

graph 챕터에서 "그림으로 보면 당연한" 여러 명제들은 사실 증명이 필요한 수학 정리들입니다. 예를 들어:

• "미분가능한 함수의 극점에서 접선이 수평" — 좌극한과 우극한을 이용한 부호 분석으로 증명.
• " 이면 는 증가" — 평균값 정리의 직접적인 귀결.
• "홀함수와 짝함수의 곱은 어떻게 될까?" — 정의식을 대입해 부호만 추적.

이러한 증명의 흐름을 따라가는 것은 앞으로 배울 모든 수학의 기초입니다. 증명이 어렵게 느껴져도 논리의 흐름 을 한 번 따라가보는 것만으로 충분히 가치가 있습니다.

다음 sec 으로 넘어가 첫 번째 증명 체인을 시작해봅시다.