Basic) 함수의 논리와 엄밀화 > 수식으로 다루는 함수의 성질

graph-1에서 홀함수·짝함수를 그림으로 봤고, graph-2에서 미적분 관점으로 확장했습니다. 이제 대수적 연산 규칙을 정리합니다. 홀함수 두 개를 더하면? 곱하면? 합성하면? 이 규칙들은 문제 풀이에서 매우 강력합니다.

홀짝성을 알아보려면 정의를 이용해야 합니다. 의 함수식에 대신 를 넣었을 때 나온 결과식인 가 와 어떤 관계냐에 따라 함수의 홀짝성을 판정할 수 있습니다. 이면 홀함수이고, 이면 짝함수입니다. 이 파트에서 다룰 모든 성질은 이를 이용하여 증명합니다. (모든 증명은 부록에 수록하였습니다.)

홀짝성의 판정

$f$
·
$g$
=
홀함수
홀=$-1$, 짝=$+1$ 로 두고 부호를 곱하는 것과 같음. −1 × +1 = −1 → 홀

연산 (덧셈/곱셈/합성) 과 두 함수의 홀짝성을 선택하면 결과가 자동으로 판정됩니다. 홀=, 짝= 로 생각하면 곱셈 규칙이 바로 외워집니다.

홀짝성과 실수배

홀짝성이 있는 함수를 실수배하면 본래의 홀짝성이 유지됩니다.

정리. 실수 , 홀함수 , 짝함수 에 대하여

  1. 는 홀함수이다.
  2. 는 짝함수이다.

홀짝성이 같은 함수끼리의 합, 차

가 여러 함수의 덧셈, 뺄셈, 실수배로 이루어져 있을 때, 각 함수들이 모두 홀함수이면 도 홀함수입니다. 마찬가지로 를 이루는 각 함수들이 모두 짝함수이면 도 짝함수입니다. 그러나 짝함수와 홀함수가 혼재되어 있으면 홀짝성이 없습니다. 예를 들어 은 짝함수이고, 는 홀함수이며, 는 홀짝성이 없습니다.

같은 홀짝성을 가진 함수끼리만 합과 차에 대해 닫혀 있습니다.

정리.

  1. 수열 과 개의 홀함수 , , , , 에 대하여, 함수 는 홀함수이다.

  2. 수열 과 개의 짝함수 , , , , 에 대하여, 함수 는 짝함수이다.

홀함수와 짝함수의 곱

, 가 홀함수, , 가 짝함수일 때, 다음이 성립합니다.

부호 곱의 법칙입니다.

| | 홀 | 짝 | |---|---|---| | 홀 | 짝 | 홀 | | 짝 | 홀 | 짝 |

정리.

  1. 는 짝함수이다.
  2. 는 짝함수이다.
  3. 는 홀함수이다.

즉 홀을 , 짝을 로 생각하면 , , 과 같은 규칙입니다.

홀함수와 짝함수의 합성

, 가 홀함수, , 가 짝함수일 때 다음이 성립합니다. (와 는 일반적으로 같지 않은 함수이므로 주의합시다.)

| 속함수 \ 겉함수 | 홀 | 짝 | |---|---|---| | 홀 | 홀 | 짝 | | 짝 | 짝 | 짝 |

정리.

  1. 는 홀함수이다.
  2. 는 짝함수이다.
  3. 는 짝함수이다.
  4. 는 짝함수이다.

핵심은 속함수가 짝이면 결과는 무조건 짝이라는 점입니다. 왜냐하면 이므로 , 즉 무조건 짝. 속함수가 홀일 때만 겉함수의 홀짝성이 결과에 전달됩니다.

홀짝성과 미적분

홀짝성과 정적분

홀함수 , 짝함수 에 대하여 다음이 성립합니다. (증명 과정에 미적분의 내용이 쓰입니다. 미적분 미선택 학생들은 다항함수만 다루므로, 다항함수의 일반 식을 대입하여 성립함을 보이는 것으로 대신하기 바랍니다.)

정리.

홀함수의 대칭구간 정적분은 이다. 이를 이용하면 홀짝성이 없는 함수의 정적분을 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어 다음의 함수를 생각해봅시다.

이 함수 를 부터 까지 정적분할 때 다음과 같이 짝함수와 홀함수로 나눌 수 있습니다.

이후 '홀짝성과 정적분'을 이용하여 다음과 같이 계산하면 매우 간편합니다.

홀짝성을 갖는 함수의 도함수와 부정적분

홀함수 , 짝함수 에 대하여 다음이 성립합니다.

정리.

  1. 가 미분가능하면 은 짝함수이다.
  2. 가 미분가능하면 은 홀함수이다.
  3. 의 부정적분 는 짝함수이다.
  4. 의 부정적분 는 일반적으로 홀함수가 아니다. (대신 는 중심이 인 점대칭함수입니다. 즉 일 때만 홀함수이고, 나머지 일반적인 경우는 홀함수가 아닙니다.)

미분하면 홀짝성이 뒤바뀐다는 점을 기억하세요.

손쉽게 홀짝성을 판정하는 방법

아래의 방법 중 하나를 이용하면 매번 정의에 입각하여 홀짝성을 판정하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 없이 판정할 수 있습니다.

곱은 더하기로, 합성은 곱하기로 생각하기

함수의 곱은 홀짝성의 합으로, 함수의 합성은 홀짝성의 곱으로 간주하여 그 계산 결괏값이 홀수인지 짝수인지를 살펴보면 쉽게 판정할 수 있습니다. 마치 지수법칙과 유사하다고 생각하면 됩니다. (지수법칙에서 곱과 합성은 각각 지수에서 합, 곱으로 나타납니다: , .)

예를 들어 는 홀함수 와 홀함수 의 곱이므로 홀+홀=짝이 되어 짝함수입니다. 는 짝함수 에 홀함수 를 취했으므로 짝×홀=짝이 되어 짝함수입니다.

홀함수를 일차함수 로, 짝함수를 이차함수 으로 생각하기

홀짝성을 판정하는 가장 쉬운 방법입니다. 함수의 홀짝성을 판정하려면 홀함수의 대표인 와 짝함수의 대표인 을 이용해 곱하거나 합성한 결과가 무엇인지를 통해 쉽게 알 수 있습니다.

예를 들어:

  • (홀) ✓
  • (홀) ✓
  • (짝) ✓
  • (짝) ✓
  • (짝, 속함수 짝이라서) ✓

예를 들어 는 홀함수와 홀함수의 곱이므로 이 되어 짝함수입니다. 는 짝함수 에 홀함수 를 취했으므로 이 되어 짝함수입니다. 이 방법을 이용하면 홀짝성을 쉽게 판정할 수 있습니다.