앞 sec에서 배운 홀짝성은 원점 대칭의 특수 케이스입니다. 일반화된 선대칭·점대칭에도 비슷한 대수적 규칙이 성립합니다.

대칭성을 알아보려면 정의를 이용해야 합니다. 주어진 함수에 대칭성이 있는지를 확인할 때에는, 의 함수식에 대신 를 넣었을 때 나온 결과식인 와, 원래의 함수식인 가 어떤 관계를 갖는지에 따라 함수의 대칭성을 판정할 수 있습니다. 이면 대칭축이 인 선대칭함수이고, 이면 중심이 인 점대칭함수입니다.

대칭성의 판정

선대칭함수와 점대칭함수의 실수배

대칭축이 인 선대칭함수 , 중심이 인 점대칭함수 , 실수 에 대하여 다음이 성립합니다.

정리.

1. 는 대칭축이 인 선대칭함수이다. (대칭성이 유지된다.)
2. 는 중심이 인 점대칭함수이다. (점대칭성은 유지되지만 중심이 달라진다.)

대칭의 기준이 같은 함수끼리의 합, 차

함수 가 대칭성이 있는 여러 함수의 덧셈, 뺄셈으로 이루어져 있을 때, 의 대칭성을 파악할 수 있습니다.

정리.

1. 각 함수들이 모두 선대칭함수이고 대칭축이 모두 이면 도 선대칭함수이고, 대칭축은 이다.
2. 각 함수들이 모두 점대칭함수이고 중심의 좌표가 모두 이면 도 점대칭함수이고, 중심의 좌표는 이다.

다른 대칭축 을 가진 선대칭함수끼리의 합은 일반적으로 선대칭이 아닙니다.

선대칭함수와 점대칭함수의 곱, 합성

선대칭함수와 점대칭함수를 곱하거나 합성하는 경우는 수식으로 일반화하여 다루지 않겠습니다. 상황에 따라 적절히 대처하시면 됩니다. 대신 특별한 상황 하나는 알아둡시다.

정리. 대칭축이 인 선대칭함수와 중심이 인 점대칭함수의 곱은 중심이 인 점대칭함수이다.

이는 홀함수와 짝함수를 축 방향으로 만큼 평행이동한 것과 동일한 상황이므로, 대칭성이 절묘하게 맞아 떨어지는 상황입니다.

sec-02의 홀짝성 규칙을 일반 대칭성에 그대로 옮기려면 먼저 대칭축이 원점이 되도록 평행이동 한 후 홀짝성 규칙을 적용하고, 다시 평행이동을 역으로 적용합니다. 이 "평행이동으로 원점으로 보내기" 방법은 대칭성 문제의 일반 해법 입니다.

대칭성과 미적분

대칭축이 인 선대칭함수 와 중심이 인 점대칭함수 를 미분 또는 적분한 함수의 대칭성을 파악할 수 있습니다.

정리.

1. 함수 가 미분가능할 때, 은 중심이 인 점대칭함수이다.
2. 함수 가 미분가능할 때, 은 대칭축이 인 선대칭함수이다.
3. 함수 의 한 부정적분을 라 할 때, 는 중심이 인 점대칭함수이다.
4. 함수 의 한 부정적분을 라 할 때, 는 일반적으로 대칭성이 없다. (오직 인 경우에만 가 대칭축이 인 선대칭함수입니다.)

sec-02의 결과와 비교해보면:

• 선대칭함수(짝함수의 일반화)의 도함수는 점대칭함수(홀함수의 일반화). 미분하면 홀짝성이 바뀌는 것과 같습니다.
• 선대칭함수의 대칭구간 정적분은 두 배: .
• 점대칭함수의 대칭구간 정적분은 다음과 같습니다: .

이 단원에서 못다 한 이야기들

Graph에서 증명 없이 배운 내용들 중 지금까지 다루지 않은 내용들이 있습니다. 이러한 내용들을 수식으로 증명하는 것은 한 번쯤 필요하지만, 효율적인 학습을 위해서 증명을 부록에 수록하였습니다. 미적분 선택자들은 꼭 스스로 증명해보고 책과 비교하며 실력을 키우기 바랍니다. 미적분을 선택하지 않은 학생들은 최소 3회독까지는 이 증명들을 생략해도 되지만, 3회독을 넘어서부터는 한번 쯤 증명해보기를 권합니다.