이 sec은 미적분 선택자 전용 입니다. 미적분을 선택하지 않는 학생은 graph-1 sec-04 (직관적인 볼록성) 까지만 알면 됩니다.

볼록성과 이계도함수의 관계는 증명 없이 받아들인다

본래 볼록의 정의는 할선과 곡선의 위치관계를 수식으로 나타낸 것이므로, 이계도함수로 볼록성을 판단하는 것은 정의에 의한 것이 아닙니다. 마치 평균값 정리를 이용하여 증감과 도함수의 관계를 규명했듯이, 증명을 통해 볼록과 이계도함수의 관계를 규명해야만 이계도함수로 볼록성을 판단할 수 있습니다. 그리고 이 증명은 교육과정 내 개념만으로 충분히 가능합니다.

그러나 교과서에서는 이에 대한 증명을 생략하고 있습니다. 따라서 이 책에서도 아래 두 명제에 대한 증명을 생략합니다.

정리. 이계도함수가 존재하는 함수 가

1. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 아래로 볼록하다.
2. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 위로 볼록하다.

함수를 토글해 보세요. 위 패널이 , 아래 패널이 입니다. 초록 영역은 (아래로 볼록), 빨강 영역은 (위로 볼록) 입니다.

볼록성과 관련된 여러 가지 변종 명제

볼록성 역시 증감성에서와 같이 변종명제의 참거짓을 판정할 수 있습니다.

명제 모음. 이계도함수가 존재하는 함수 가

1. 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 이다.
2. 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 이다.
3. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 아래로 볼록하다.
4. 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 이다.
5. 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 이다.
6. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 위로 볼록하다.

1. 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 이다. (거짓) — 반례: 와 같이 구간 내에 도함수의 쉼점이 있는 경우.
2. 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 이다. (참) (증명 생략)
3. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 아래로 볼록하다. (거짓) — 반례: 구간 내에 원함수가 직선인(도함수가 상수함수인) 구간이 있는 경우.
4. 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 이다. (거짓) — 반례: 와 같이 구간 내에 도함수의 쉼점이 있는 경우.
5. 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 이다. (참) (증명 생략)
6. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 위로 볼록하다. (거짓) — 반례: 구간 내에 원함수가 직선인(도함수가 상수함수인) 구간이 있는 경우.

볼록에 대한 도함수와 원함수의 관계

도함수의 증감은 원함수의 볼록과 필요충분이다

이므로, '도함수의 증가'는 '원함수의 아래로 볼록'과 필요충분조건입니다. 마찬가지로 '도함수의 감소'는 '원함수의 위로 볼록'과 필요충분조건입니다.

이증가가아래로볼록

이러한 면에서 ①, ③, ⑤, ⑥은 도함수에서의 단조증가와 증가의 관계, 단조감소와 감소의 관계를 묻는 것으로 생각할 수 있으며, 이는 증감성에서 따졌던 것과 완전히 동일한 양상이 나타납니다.

위 변종 명제를 종합하면:

| | | | |---|---|---| | | 증가 | 아래로 볼록 | | | 감소 | 위로 볼록 | | 지점 | 극값 후보 | 변곡점 후보 |

이 관계표를 암기하기보다는, "는 의 변화율, 은 의 변화율" 이라는 chain을 한 번 이해하면 자연스럽게 연결됩니다.

변곡점은 볼록성이 바뀌는 점입니다. 의 부호가 바뀌는 지점이 변곡점 후보이지만, 이어도 변곡점이 아닐 수 있습니다. 예: 에서 이지만 주변에서 모두 이므로 볼록성이 바뀌지 않아 변곡점 X. 엄밀한 변곡점 판정은 의 부호 변화로만 합니다.