graph 챕터에서 그림으로 본 증감성·극점·최점을 이제는 수식과 증명으로 엄밀하게 다뤄봅니다. 핵심은 네 단계 증명 체인입니다.

1. 극점에서의 미분계수 = 0
2. 롤의 정리
3. 평균값 정리
4. 증감성과 도함수의 관계

각 단계는 앞 단계의 결과를 사용합니다.

극점의 미분계수부터 평균값 정리까지

증명의 여정을 떠나기 전에

많은 학생들이 롤의 정리, 평균값 정리는 특정 유형의 문제를 풀 때에만 쓰이는 정리로 생각하는 경향이 있습니다. 이는 문제에서 '도함수를 구할 수 없는 경우'를 거의 다루지 않기 때문입니다. 대부분의 문제에서는 함수의 식이나 조건이 명확히 주어지므로, 곧장 그래프를 떠올리거나 미분하여 그래프를 그리는 것이 가능합니다. 그러므로 롤의 정리와 평균값 정리를 통해 찾을 수 있는 의 존재성이 당연해 보일 수도 있습니다.

그러나 롤의 정리와 평균값 정리는 '함수 가 미분가능하다'라는 한정된 정보만 주어졌을 때 의미가 있습니다. 이 정보만으로는 어떤 의 존재성을 보이기가 꽤 난감합니다. 의 미분가능성 외에는 정보가 없으니 미분계수 정의를 쓸 수도 없고, 원함수의 식을 전혀 알지 못하니 도함수를 구할 수도 없습니다. '구간의 두 끝점의 함숫값이 같다는 정보', '구간의 두 끝점의 함숫값 정보'가 주어지더라도 이 난감한 상황은 크게 달라지지 않습니다.

그러나 롤의 정리를 통해 우리는 미분계수가 인 점이 구간에 존재한다는 새로운 정보를 얻을 수 있습니다. 평균값 정리는 이를 확장하여 할선의 기울기와 같은 접선이 존재한다는 새로운 정보를 얻을 수 있게 해줍니다. 롤의 정리와 평균값 정리의 의미가 여러분께 조금이나마 와닿기를 바라며, 증명을 통해 논리 전개의 흐름을 이해해봅시다.

1회독부터 고민하며 스스로 증명하면 좋지만, 1회독 때에는 직접 증명하지 않고 논리 전개의 흐름을 따라가는 것도 괜찮습니다. 2회독 이후부터는 직접 증명해보시기 바랍니다.

1단계: 극점에서의 미분계수가 임을 증명하기

Graph에서 극점에서의 미분계수가 임을 배웠습니다. 이는 다음의 명제로 정리될 수 있습니다.

정리. 미분가능한 함수 에 대하여 가 극점이면 이다.

극대점일 때를 증명하면, 같은 방법으로 극소점일 때에도 증명할 수 있습니다. 따라서 극대점일 때만 증명하고, 극소점일 때의 증명은 여러분께 맡기겠습니다.

증명. 극대점의 정의에 의해 를 포함하는 어떤 열린구간 에서 이다. 따라서 이고, 양변을 로 나누면 와 의 대소관계에 따라 다음이 성립한다.

①

②

이때 가 에서 미분가능하므로 다음이 성립한다.

이제 ①의 양변에는 를 취하고, ②의 양변에는 를 취하면 함수의 극한의 대소관계에 의하여 각각 , 을 얻는다. 이를 종합하면 이고, 따라서 이다.

증명의 키포인트. 가정에서는 극점의 정의를, 결론에서는 극점에서의 미분계수의 부호를 논하고 있습니다. 그런데 극점의 정의에서는 극점의 함숫값 와 열린구간 내의 임의의 함숫값 가 등장하고, 미분계수를 구하려면 를 계산해야 합니다. 따라서 로 나누되, 부호와 부등호의 방향에 유의하여 진행하면 됩니다.

2단계: 롤의 정리 증명하기

다음과 같은 롤의 정리를 증명해보겠습니다.

정리 (롤의 정리). 함수 가 에서 연속이고 에서 미분가능할 때, 이면

이고

인 실수 가 적어도 하나 존재한다.

슬라이더 로 함수를 변형해 보세요. 를 유지하면서도, 인 가 항상 구간 내에 존재합니다 (초록 점).

증명.

1. 가 상수함수인 경우: 구간 에서 이다.

2. 가 상수함수가 아닌 경우: 는 연속함수이므로 최대최소의 정리에 의하여 에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 또한 가 상수함수가 아니므로 인 실수 가 존재하거나, 인 실수 가 존재한다. 이때 이므로 와 에서는 최댓값과 최솟값을 동시에 가질 수는 없다. 따라서 인 어떤 실수 에 대하여 에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.

   에서 최대일 때, 는 에서 극대이다. 이때 극점에서의 미분계수는 이므로 이다. 에서 최소일 때에도 같은 방법으로 에서 극소임과 임을 보일 수 있다.

증명의 키포인트. 증명의 핵심은 '미분가능하면 연속이다', '최대최소 정리', 그리고 앞서 증명한 명제인 '극점의 미분계수는 이다'입니다. 증명의 구조를 살펴보면, 미분가능 조건을 활용할 여지가 없으므로 연속조건을 활용하고, 연속조건을 활용하여 극점을 찾은 후, 극점의 미분계수가 임을 찾고 있는 것을 알 수 있습니다. 달리 말하면, 아이러니하게도 롤의 정리를 증명하게 해주는 첫 실마리는 미분가능이 아닌 연속이고, 미분가능은 증명의 마무리 과정에서만 잠깐 활용될 뿐입니다.

한편, 롤의 정리의 증명 과정이 주는 교훈이 하나 더 있습니다. '일단 쉬운 상황을 먼저 처리하고 보자'는 발상입니다. ①과 같이 주어진 조건을 만족하며 가장 간단한 상황을 생각하여 먼저 처리하고 나면, 풀이해야 할 대상이 ②로 좀 더 명확히 좁혀집니다. 이렇게 가장 쉬운 상황을 먼저 처리하고 난 뒤, 좀 더 의미 있는 부분에 포커스를 맞추어 풀이를 진행해나가는 과정은, 앞으로 유용할 것입니다.

3단계: 평균값 정리 증명하기

다음과 같은 평균값 정리를 증명해보겠습니다.

정리 (평균값 정리). 함수 가 에서 연속이고 에서 미분가능할 때,

이고

인 실수 가 적어도 하나 존재한다.

두 슬라이더로 , 를 움직여 할선(보라 점선)의 기울기를 바꿔 보세요. 할선과 평행한 접선(초록)이 항상 구간 내에 존재합니다.

증명. 이라 하고, 좌표평면에서 두 점 , 를 지나는 직선의 방정식

를 생각하고, 를 생각하자. 그러면 는 에서 연속이고 에서 미분가능하며 이다. 따라서 롤의 정리에 의해 이고 인 실수 가 적어도 하나 존재한다. , 이므로, 이고 인 실수 가 적어도 하나 존재한다.

증명의 키포인트. 두 새로운 함수 와 를 설정하는 것이 매우 핵심적인 발상입니다. 이러한 발상은 앞으로 평균값 정리와 무관해보이는 문제를 풀 때에도 매우 결정적인 경우가 많을 것입니다. 따라서 그 근거를 명확히 제시할 수 있는 능력을 길러야 합니다.

는 평균값 정리의 명제에서 두 점 , 에 의해 결정되는 기울기 식이 명시적으로 드러난 것을 근거로 설정한 것입니다. 는 와 가 두 점 , 를 교점으로 갖는다는 점에 착안하여 방정식 를 생각하고, 이를 바탕으로 이라는 방정식의 해가 , 임을 이용하기 위해 새로운 함수로 설정한 것입니다.

한편 와 의 관계, 그에 따른 의 그래프는 무언가 연관성이 느껴질 법합니다. 이렇게 두 함수를 빼서 얻은 '빼기함수'의 그래프를 그리는 방법, 더 나아가 함수끼리의 사칙연산을 이용하여 만든 '더하기함수', '곱하기함수', '나누기함수'의 그래프를 그리는 방법은 나중에 배울 것입니다. (더하기함수와 빼기함수는 이 책의 Calculus에서, 곱하기함수와 나누기함수는 맑은개념 미적분에서 배웁니다.)

4단계: 증감성과 도함수의 관계

우리는 의 증감성을 로 판단할 수 있음을 다음과 같이 배웠습니다. 이를 증명해보겠습니다.

정리. 미분가능한 함수 가

1. 어떤 구간에서 이면 는 그 구간에서 증가한다.
2. 어떤 구간에서 이면 는 그 구간에서 감소한다.

증가할 때를 증명하면, 같은 방법으로 감소할 때에도 증명할 수 있을 것입니다.

증명. 함수 가 에서 연속이고 에서 미분가능할 때, 인 두 실수 , 에 대하여 평균값 정리에 의해

이고

인 실수 가 적어도 하나 존재한다. 그런데 함수 가 구간 에서 이므로 이고, 이므로 이다. 따라서 함수 는 구간 에서 증가한다.

증명의 키포인트. 가정에서는 구간 내의 임의의 한 점에서의 미분계수의 부호를, 결론에서는 증가의 정의를 논하고 있습니다. 그런데 증가의 정의에서는 곡선 위의 두 점이 등장하므로, 두 점을 이용하여 한 점에서의 미분계수를 끌어낼 수 있는 연결고리가 필요합니다. 이 요건에 정확히 부합하는 것이 바로 '평균값 정리'이고, 이를 활용하여 얻은 미분계수의 부호를 밝히면 자연스럽게 증명됩니다.

증감성과 관련된 여러 가지 변종 명제 1

증감성과 도함수의 관계에 관련된 여러 가지 변종 명제의 참과 거짓을 판정해보겠습니다. 참이면 참임을 증명하고, 거짓이면 반례를 보이겠습니다. (거짓임을 증명할 때에는 명제가 틀렸음을 보여주는 예인 반례를 단 하나만 제시하여도 충분합니다.)

명제 모음. 미분가능한 함수 가

1. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다.
2. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다.
3. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 증가한다.
4. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다.
5. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다.
6. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 감소한다.

1. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다. (거짓) — 반례: 구간 내에 쉼점이 있는 경우.
2. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다. (참)

   증명. 이면 이고, 이면 이다. 따라서 와 의 대소관계에 관계 없이 이 성립한다. 이 부등식의 양변에 를 취하면 이다.

3. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 증가한다. (거짓) — 반례: 구간 내에 상수함수인 구간이 있는 경우(단조증가함수인 경우).
4. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다. (거짓) — 반례: 구간 내에 쉼점이 있는 경우.
5. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다. (참) (증명 생략)
6. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 감소한다. (거짓) — 반례: 구간 내에 상수함수인 구간이 있는 경우(단조감소함수인 경우).

①, ③, ⑤, ⑥는 단조증가함수와 증가함수의 관계, 단조감소함수와 감소함수의 관계로 생각하면 참과 거짓을 쉽게 판정할 수 있습니다.

증감성과 관련된 여러 가지 변종 명제 2

조건을 미분가능한 함수에서 '상수함수가 아닌 다항함수'로 바꿀 경우 답이 약간 달라집니다.

명제 모음. 다항함수 가

1. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다.
2. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다.
3. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 증가한다.
4. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다.
5. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다.
6. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 감소한다.

1. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다. (거짓) — 반례: 구간 내에 쉼점이 있는 경우.
2. 어떤 구간에서 증가하면 그 구간에서 이다. (참) (증명 생략)
3. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 증가한다. (참) — 다항함수가 단조증가함수이면 증가함수입니다. 단조증가이지만 증가가 아닌 경우 상수함수인 구간을 포함하는데, 다항함수는 이러한 상황이 나타날 수 없습니다.
4. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다. (거짓) — 반례: 구간 내에 쉼점이 있는 경우.
5. 어떤 구간에서 감소하면 그 구간에서 이다. (참) (증명 생략)
6. 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 감소한다. (참) — 다항함수가 단조감소함수이면 감소함수입니다. 단조감소이지만 감소가 아닌 경우 상수함수인 구간을 포함하는데, 다항함수는 이러한 상황이 나타날 수 없습니다.

③과 ⑥의 내용을 조금 더 알아봅시다. 차 다항함수가 구간 에서 함숫값이 인 상수함수이면 다항방정식 의 해가 인 모든 실수 이고, 해 는 무수히 많습니다. 그러나 차 다항방정식의 해는 개이므로, 유한한 갯수인 개만으로는 무수히 많은 근들을 다 감당하기에 역부족입니다. 따라서 그러한 다항함수 는 존재하지 않습니다.

수식으로 다루는 극점과 최점

다음과 같은 상황을 생각해봅시다.

1. 함수 가 에서 증가하고, 에서 감소한다.
2. 함수 가 에서 감소하고, 에서 증가한다.

이때 는 왼쪽 닫힌 구간인 의 오른쪽 끝이자, 오른쪽 닫힌 구간인 의 왼쪽 끝입니다. 두 구간의 증감성이 다르므로, 는 증가구간과 감소구간 양측에 모두 발을 걸치고 있는 상황입니다. 이에 착안하여 이러한 상황을 '에서 증감성이 바뀐다'고 부르기로 합시다.

연속함수의 극점과 최점

어떤 점에서 증감성이 바뀌면, 그 점은 극점입니다. 즉 다음의 명제가 성립합니다. (증명은 부록에 수록하였습니다.)

정리. 연속함수 에 대하여 가 에서 증감성이 바뀌면 가 극점이다.

그러나 이 명제의 역인 '연속함수의 극점에서 증감성이 바뀐다'는 거짓입니다. 반례는 '를 포함하는 어떤 구간에서 상수함수인 경우'입니다. 이러한 경우 는 극점이지만 에서 증감성이 바뀌지는 않습니다. 이러한 경우를 제외하면 대부분의 경우 극점에서 증감성이 바뀝니다.

미분가능한 함수의 극점

증감성이 바뀌는 점은 극점이지만, 극점이라고 해서 증감성이 바뀌는 것은 아니다

미분가능한 함수는 연속함수이므로, 에서 증감성이 바뀌면 가 극점입니다. 그러나 극점이라고 해서 그 점에서 증감성이 바뀌는 것은 아닙니다. '극점을 포함한 구간에서 상수함수'라는 대표적인 반례가 있기 때문입니다. 이러한 경우를 제외하면, 대부분의 경우 극점에서 증감성이 바뀝니다.

극점의 미분계수는 이지만, 미분계수가 이라고 극점인 것은 아니다

한편 앞서 극점의 미분계수가 임을 배웠습니다. 이 명제의 역은 성립하지 않습니다. 증감성의 변종명제를 다루어봤다면 쉽게 반례를 들 수 있을 것입니다.

이고 이면 는 극점이다 (미적분 선택자 전용)

이계도함수가 존재한다면, 즉 도함수가 미분가능하다면 이계도함수를 이용하여 원함수의 극점 여부를 판단할 수 있습니다. (증명은 부록에 수록하였습니다.) 이 방법은 임은 알지만 주어진 정보만으로는 도함수의 그래프를 그리거나 부호를 판단하기 어려울 때 유용합니다. 단 이계도함수가 존재하지 않거나, 이계도함수가 존재하더라도 이면 아쉽게도 이 방법을 이용할 수 없습니다.

불연속인 함수의 극점과 최점

교육과정에서 다루는 불연속인 함수는 조각함수가 전환점에서 불연속인 경우가 대부분입니다. 또한 각 구간에서의 함수식은 연속이거나 미분가능한 경우가 대부분입니다. 전환점이 극점인지의 여부는 극점의 정의로 판단하고, 전환점이 아닌 나머지 구간에서는 연속함수의 극점이나 미분가능한 함수의 극점을 따질 때와 동일하게 판단하면 됩니다.

함수의 최점

함수의 최점은 극점을 이용하여 구합니다. 최대점은 극대점과 구간의 양 끝점 중에서 함숫값이 가장 큰 점을 찾으면 되고, 최소점은 극소점과 구간의 양 끝점 중에서 함숫값이 가장 작은 점을 찾으면 됩니다. 이에 대해서는 교과서에서 증명 없이 받아들이고 있습니다. '전교 1등을 찾으려면 학급별 1등의 성적만 비교하면 된다'는 정도로 이해하면 충분할 것입니다.

비고: 구간 끝점을 극점으로 취급하지 않는 것이 나은 이유 — 그 함수

앞서 Graph 1에서는 교과서에서 닫힌구간의 끝점을 극점으로 취급하지 않는 이유를 '구간 끝점이기만 하면 항상 극점이라는 오해를 막기 위해서'라고 추정했습니다. 먼저 구간 끝을 극점으로 정의하는 방법에 대해 알아보고, 그 오해의 반례가 되는 그 함수에 대해 이야기해봅시다.

극대점의 정의는 를 포함하는 어떤 열린구간에서 인 점 이고, 극소점의 정의는 를 포함하는 어떤 열린구간에서 인 점 입니다. 구간 왼쪽 끝인 경우에는 어떤 열린구간 대신 를 잡고, 구간 오른쪽 끝인 경우에는 를 잡아 동일한 부등식으로 판단하면 구간 끝에서의 극점을 매끄럽게 정의할 수 있습니다.

그런데 정의 자체에는 아무런 문제가 없음에도 불구하고, 이러한 정의를 본 학생들은 '끝점이면 항상 극점이겠네'라고 오해하는 경우가 많습니다. 그림과 같이 닫힌구간의 끝에서 그려질 수 있는 여러 상황을 그려보면 '끝점인데 극점이 아닌 경우'를 상상하기 쉽지 않기 때문입니다.

그러나 끝점이라고 항상 극점이라고 말할 수는 없습니다. 반례가 있기 때문입니다. 정의역이 인 다음의 함수, 일명 그 함수를 생각해봅시다.

이 함수는 연속함수입니다. 그러나 그래프 위의 점 은 구간 끝점이지만 극점이 아닙니다. 보시다시피 극댓값이 보다 큰 극대점, 극솟값이 보다 작은 극소점, 극대와 극소 사이의 값을 갖는 극대도 극소도 아닌 일반 점들이 어떤 구간 를 잡아도 항상 존재하므로, 은 극점이 될 수 없습니다. 따라서 '끝점은 항상 극점이다'라는 명제는 거짓임을 알 수 있습니다. 교과서는 이런 오해를 피하기 위해 '끝점은 극점으로 취급하지 않는 방법'을 택한 것입니다.

이렇게 다항함수와 을 곱한 함수는 미적분에서 가질 수 있는 많은 오해들에 대한 반례로 자주 활용됩니다. 예를 들어 은 '도함수의 극한과 미분계수'에 대한 오해를 반증하는 데 쓰이고, 는 '한 점에서의 증감성'에 대한 오해를 반증하는 좋은 예로 쓰입니다. 이러한 상황을 고려하여, 이 책에서 을 포함한 함수들을 부를 때 함수식을 쓰지 않고 그 함수라 부르는 것입니다.