함수가 가질 수 있는 가장 기본적인 특성은 "올라가는가, 내려가는가" 입니다. 이를 형식화한 것이 증가·감소이고, 그 위에 극대·극소·최대·최소가 차곡차곡 쌓입니다.

증가함수

두 점을 좌우로 드래그하면서 일 때 가 성립하는지 직접 확인해보세요.

함수 가 어떤 구간 내의 임의의 두 실수 , 에 대하여 이면 일 때, "함수 는 그 구간에서 증가함수" 또는 "함수 가 그 구간에서 증가한다"라 합니다. 만약 구간이 정의역과 일치한다면 "함수 는 증가함수"라 합니다.

감소함수

이번에는 부등호의 방향이 반대입니다. 일 때 가 성립하는지 확인해보세요.

함수 가 어떤 구간 내의 임의의 두 실수 , 에 대하여 이면 일 때, "함수 는 그 구간에서 감소함수" 또는 "함수 가 그 구간에서 감소한다"라 합니다.

증감성

함수가 증가 또는 감소하는 성질을 증감성이라 부르기로 합시다. 어떤 구간에서 증감성이 있으면 그 구간에서 증가하거나 감소하고, 증감성이 없으면 그 구간에서 상수함수입니다. 마치 실수에서 부호가 있으면 음수이거나 양수이고, 부호가 없으면 인 것과 같습니다.

연속인 함수의 증감성을 다루는 경우가 많기는 하지만, 증감성과 연속성은 무관합니다. 증가와 감소의 판정은 부등식의 성립 여부일 뿐이고, 이 성립 여부는 연속과 관계없기 때문입니다. 그림의 함수들은 불연속인 점이 존재하지만 모두 증가함수이거나 감소함수입니다.

함수의 극대

슬라이더로 를 움직여 보세요. 색칠된 열린구간 안에서 곡선이 점 보다 모두 아래(또는 같은 높이)면 극대입니다.

를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 에 대하여 이면 "함수 는 에서 극대가 된다"고 하고, 그때의 함숫값 를 극댓값이라고 합니다. 극대극소의 정의에서 열린구간을 잡는 것은 가 구간의 양 끝이 되지 않도록 하기 위함입니다.

함수의 극소

같은 곡선에서 이번엔 극소를 찾아보세요. 부등호의 방향이 반대입니다.

를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 에 대하여 이면 "함수 는 에서 극소가 된다"고 하고, 그때의 함숫값 를 극솟값이라고 합니다.

극대와 극소에서 주의할 점

(a)와 같은 경우 에서 극대이자 동시에 극소입니다. (b)와 같은 경우 에서 극대이고, (c)와 같은 경우 에서 극소입니다.

극대와 극소는 함수의 연속과 무관합니다. 위 그림에서 왼쪽의 두 경우 에서 극대이고, 오른쪽의 두 경우 에서 극소입니다.

극값과 극점

에서 함수 가 극대가 되면 점 를 곡선 의 극대점이라 부르기로 합시다. 에서 함수 가 극소가 되면 점 를 곡선 의 극소점이라 부르기로 합시다.

극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 하고, 극대점과 극소점을 통틀어 극점이라 부르기로 합시다.

구간 끝점은 극점이 될 수 없다

정의역이 인 함수 에서 , 는 극값이 될 수 없습니다.

이는 교과서가 일관되게 끝점을 극점에서 배제하기 때문이며, 이는 "끝점이 항상 극점이라는 오해 차단" 그리고 "평균값 정리에서 극점의 미분계수가 이라는 명제와의 정합성" 두 가지 이유 때문입니다.

함수의 최대

정의역에 속하는 모든 에 대하여 이면 "함수 는 에서 최대가 된다"고 하고, 그때의 함숫값 를 최댓값이라고 합니다.

극대와의 차이는 비교 범위입니다. 극대는 주변의 어떤 열린구간 안에서만 비교하고, 최대는 정의역 전체에서 비교합니다.

함수의 최소

정의역에 속하는 모든 에 대하여 이면 "함수 는 에서 최소가 된다"고 하고, 그때의 함숫값 를 최솟값이라고 합니다.

최값과 최점, 그리고 구간 끝점

에서 함수 가 최대가 되면 점 를 최대점이라 부르기로 합시다. 최댓값과 최솟값을 통틀어 최값이라고 부르고, 최대점과 최소점을 통틀어 최점이라고 부르기로 합시다.

극값과 달리 정의역이 인 함수에서 , 도 최값이 될 수 있습니다. 열린구간을 따로 설정할 필요 없이 정의역 내의 모든 를 대상으로 부등식이 성립하는지만 확인하면 되기 때문입니다.