함수 모양이 일정한 간격마다 똑같이 반복되는 성질을 주기성이라 부릅니다. 단순한 주기함수, 평행이동을 더한 준주기함수, 그리고 "주기는 가장 작은 양수" 라는 미묘한 함정까지 살펴봅니다.
주기함수
파란 곡선: y = sin x, 분홍 점선: y = sin(x + a)
두 곡선이 일치?일치 — a 는 주기의 정수배
실제 주기 = 2π ≈ 6.28
슬라이더로 평행이동량 를 움직여 보세요. 가 주기 () 의 정수배일 때 두 곡선이 정확히 일치합니다.
함수 가 이 아닌 상수 와 정의역 내의 임의의 실수 에 대하여
를 만족시킬 때, "함수 는 주기함수" 라 합니다.
를 만족하는 주기함수의 그래프는 만큼 축 방향으로 평행이동한 그래프가 원본과 일치하므로, 마다 동일한 모양이 반복됩니다.
준주기함수
파란 곡선: y = f(x), 분홍 점선: y = f(x − a) + b
두 곡선이 일치?일치 — (a, b) = (2.0, 1.0)
실제 주기 = (2, 1) — 가장 작은 양의 a 가 2 일 때
이번엔 평행이동이 축뿐만 아니라 축에도 함께 일어납니다. 두 슬라이더로 를 적절한 값에 두면 두 곡선이 일치합니다.
함수 가 상수 와 정의역 내의 임의의 실수 에 대하여
를 만족시킬 때, "함수 는 준주기함수" 라 부르기로 합시다. 그래프 를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동하면 원본과 일치하므로, 마다 동일한 모양이 (그러나 한 단씩 올라가면서) 반복됩니다.
주기성
함수의 그래프를 적절히 평행이동했을 때 자기 자신과 일치하는 성질을 주기성이라 부르기로 합시다. 주기함수와 준주기함수는 모두 주기성을 갖습니다.
주기
함수 가 주기성을 가질 때 동일한 모양이 계속 반복되므로 반복되는 가장 작은 단위가 있을 것입니다. 이를 일컬어 주기라고 합니다.
주기함수의 주기
주기함수의 주기는 를 만족하는 상수 중 가장 작은 양수입니다.
준주기함수의 주기
준주기함수는 축 방향 평행이동도 있으므로 주기를 순서쌍으로 나타냅니다. 를 만족하는 두 상수 중에서 가 가장 작은 양수일 때의 순서쌍이 준주기함수의 주기입니다.
주기에서 주의할 점
f(x + 4) = f(x)모두 만족 ✓
실제 주기4
세 함수 모두 를 만족합니다. 그러나 진짜 주기 (가장 작은 양수) 는 4, 2, 1 로 모두 다릅니다. 토글하며 한 주기 안에 사이클이 몇 번 있는지 살펴보세요.
상수 가 를 만족한다고 해서, 가 항상 의 주기인 것은 아니므로 주의해야 합니다. (a) 는 마다 동일한 모양이 반복되어 주기가 이지만, (b) 는 마다 반복되어 주기가 , (c) 는 마다 반복되어 주기가 입니다.