미적분을 배우지 않아도 받아들일 수 있는 볼록성의 직관을 다룹니다. 엄밀한 정의는 sec-05 (미적분 선택자 전용) 에서 이어집니다.

볼록성 도입

앞에서 배운 이차함수의 위로 볼록과 아래로 볼록에 대한 정의를 확장하여, 일반적인 함수의 위로 볼록과 아래로 볼록을 정의할 수 있습니다. 볼록성과 볼록이 바뀌는 지점은 그래프를 통해 직관적으로 받아들이도록 합시다.

볼록성

함수가 갖는 볼록한 성질을 볼록성이라 부르기로 합시다. 어떤 구간에서 볼록성이 있으면 그 구간에서 위로 볼록하거나 아래로 볼록하고, 어떤 구간에서 볼록성이 없으면 평평한 직선입니다. 마치 실수에서 부호가 있으면 음수이거나 양수이고, 부호가 없으면 인 것과 같습니다.

변곡점과 변곡

슬라이더로 점을 곡선 위에서 움직여 보세요. 한쪽에서는 "아래로 볼록", 반대편에서는 "위로 볼록" 라벨이 뜨고, 변곡점에서 정확히 바뀝니다.

함수 에 대하여 에서 함수 의 볼록성이 바뀔 때, 점 를 곡선 의 변곡점이라 합니다. 또한 이러한 상황을 "함수 가 에서 변곡한다" 고 부르기로 합시다.

지수·로그함수의 볼록성

수학 I 교육과정에서 쓰는 표현은 아니지만, 지수함수 에서 일 때의 그래프를 "아래로 볼록하면서 증가한다" 고 표현하기도 합니다. 이는 가 곱해지면서 함숫값이 증가하는 폭이 커지기 때문입니다. 예를 들어 에서 가 와 같이 씩 변할 때, 는 처럼 증가폭이 점점 커집니다.

마찬가지로 일 때의 그래프를 "아래로 볼록하면서 감소한다" 고 표현합니다. 에서 가 와 같이 변할 때 는 처럼 감소폭이 점점 작아집니다.

이는 (a) 와 같은 이차함수의 그래프를 아래로 볼록하다고 부른 것과 일맥상통합니다. 아래로 볼록한 이차함수는 대칭축 를 기준으로 에서 감소폭이 점점 작아지고, 에서 증가폭이 점점 커집니다. 역으로 (b) 의 위로 볼록한 이차함수에서는 그 반대가 일어납니다.

지수함수 / 로그함수를 토글하고 밑 를 슬라이더로 움직여보세요. 증감과 볼록성이 어떻게 결정되는지 한눈에 보입니다.

위 컴포넌트에서 의 그래프가 일 때 위로 볼록하며 증가하고, 일 때 아래로 볼록하며 감소함을 확인할 수 있습니다.