함수가 가질 수 있는 또 하나의 특성은 대칭입니다. 직선에 대한 대칭, 점에 대한 대칭, 그리고 그 둘의 가장 단순한 형태인 홀짝성을 살펴봅니다.
선대칭
점 P 를 드래그하면 대칭축 에 대한 대칭점 이 자동으로 그려집니다. 슬라이더로 대칭축의 위치도 바꿔보세요.
선대칭은 특정 직선에 대한 대칭입니다. 이때 대칭의 기준이 되는 직선을 대칭축이라 합니다. 점 를 대칭축에 대하여 대칭이동한 점 을 점 의 대칭점이라 부르기로 합시다.
파란 곡선: y = f(x), 분홍 곡선: y = f(2a − x). 대칭축이 적절한 값일 때 두 곡선이 겹칩니다.
이번엔 곡선 전체와 그 미러 (분홍 점선) 입니다. 대칭축이 적절한 위치에 가면 두 곡선이 정확히 겹칩니다.
대칭축이 인 함수를 선대칭함수라 부르기로 합시다. 선대칭함수의 그래프 위의 점 의 대칭점 도 곡선 위에 있어야 하므로, 정의역에 속하는 모든 실수 가 다음을 만족합니다.
이 식에 대신 를 대입하면 다음과 같이 더 익숙한 표현을 얻습니다.
점대칭
초록색 점이 대칭의 중심입니다. P 를 드래그하면 P′ 가 자동으로 따라옵니다.
초록 점 (대칭의 중심) 과 파란 점 P 를 모두 드래그할 수 있습니다. 분홍 점 는 자동으로 따라옵니다.
점대칭은 특정 점에 대한 대칭입니다. 기준이 되는 점을 중심이라 합니다. 점 를 중심에 대하여 대칭이동한 점 을 점 의 대칭점이라 합니다.
초록색 점이 대칭의 중심입니다. 적절한 중심에서 분홍 곡선이 파란 곡선과 겹칩니다.
곡선 모드입니다. 중심을 적절한 위치 (이 함수의 경우 ) 에 두면 분홍 곡선이 파란 곡선과 일치합니다.
중심이 인 함수를 점대칭함수라 부르기로 합시다. 점대칭함수의 그래프 위의 점 의 대칭점 도 곡선 위에 있어야 하므로, 정의역에 속하는 모든 실수 가 다음을 만족합니다.
이 식의 에 를 대입하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
대칭성
함수 의 그래프 를 대칭이동한 도형 이 와 일치하는 성질을 대칭성이라 부르기로 합시다. 어떤 함수가 대칭성이 있으면 선대칭함수 또는 점대칭함수이고, 대칭성이 없으면 선대칭함수도 아니고 점대칭함수도 아닙니다.
본문에서 다룬 의미로 선대칭함수이면서 동시에 점대칭함수인 함수는 상수함수뿐입니다.
특별한 대칭성: 홀짝성
파란 곡선: y = f(x), 분홍 점선: y = f(−x)
판정홀함수 (f(−x) = −f(x))
다섯 개의 함수를 토글해 보면서 어떤 것이 짝함수, 홀함수인지 직접 확인해보세요. 분홍 점선은 의 그래프입니다.
대칭성을 띠는 상황 중에서 가장 간결한 상황은 " 축에 대한 대칭" 과 "원점에 대한 대칭" 입니다. 이러한 대칭성을 홀짝성이라 부르기로 하고, 중심이 원점인 점대칭함수를 홀함수, 대칭축이 축인 선대칭함수를 짝함수라 부르기로 합시다.
홀함수는 정의역 내의 모든 실수 에 대하여 를 만족시키고, 짝함수는 를 만족시킵니다. 대표적인 홀함수로는 홀수차항으로만 이루어진 다항함수, , 가 있고, 대표적인 짝함수로는 짝수차항으로만 이루어진 다항함수, 가 있습니다.
어떤 함수가 홀짝성이 있으면 홀함수 또는 짝함수이고, 홀짝성이 없으면 둘 다 아닙니다. 한편 홀함수이면서 동시에 짝함수인 함수는 뿐입니다.