이 챕터는 미적분을 선택한 학생을 위한 엄밀한 정의입니다. 직관적인 볼록성 (sec-04) 의 동기는 이미 익숙해졌다고 가정하고, 할선과 곡선의 위치 관계로 볼록을 정의한 뒤, 이계도함수의 부호로 판정하는 방법을 살펴봅니다.
볼록을 정의하기 위해 필요한 용어 정의
P, Q 를 드래그하여 곡선 위 두 점으로 만든 할선 PQ 를 관찰해보세요.
곡선 위 두 점 P, Q 를 드래그하면 선분 PQ (할선) 가 자동으로 그려집니다.
구간 에서 곡선 위의 임의의 서로 다른 두 점 , 에 대하여 선분 를 할선이라 부르기로 하고, 를 곡선이라 부르기로 합시다.
아래로 볼록
구간 (a, b) 안의 모든 x 에서 곡선이 할선 아래?아래로 볼록 ✓
곡선이 할선보다 항상 아래에 있는지 확인해보세요. 두 점을 어디로 옮겨도 그 사이의 곡선은 할선 아래에 있어야 합니다.
임의의 구간 에서 곡선이 할선보다 아랫부분에 있으면 "곡선 는 구간 에서 아래로 볼록" 하다고 합니다.
위로 볼록
구간 (a, b) 안의 모든 x 에서 곡선이 할선 위?위로 볼록 ✓
이번엔 그 반대입니다. 곡선이 항상 할선 위에 있어야 합니다.
임의의 구간 에서 곡선이 할선보다 윗부분에 있으면 "곡선 는 구간 에서 위로 볼록" 하다고 합니다.
변곡점과 변곡
-1.0
x = -1.00 에서위로 볼록
이 함수 (x³ − 3x) 의 변곡점은 x = 0 입니다.
sec-04 에서 본 같은 도구입니다. 이계도함수가 존재하는 함수에서 볼록성이 바뀌는 점이 변곡점입니다.
이계도함수가 존재하는 함수 에 대하여 에서 함수 의 볼록성이 바뀔 때, 점 를 곡선 의 변곡점이라 합니다.
볼록성의 전제조건: 이계도함수 존재
교육과정상 볼록성은 구간 에서 정의되고 에서 이계도함수가 존재하는 경우에 대해서만 다룹니다. 이는 다음의 두 가지를 의미합니다.
가 에서 존재. 미분가능하면 연속이므로 도 연속입니다.
가 에서 존재. 마찬가지로 도 연속입니다.
볼록성 판정
1.0
x = 1.00 에서아래로 볼록
f(x) = x³/3 → f″(x) = 2x. 변곡점은 x = 0.
윗 그래프는 , 아래 그래프는 입니다. 슬라이더로 를 움직이며 의 부호와 그 점에서의 볼록성을 함께 확인해보세요.
이계도함수가 존재하는 함수 가 구간 에서:
이면 곡선 는 그 구간에서 아래로 볼록
이면 그 구간에서 위로 볼록
이면 그 구간에서 상수함수 또는 일차함수
변곡점 판정
이계도함수가 존재하는 함수 가 에서 의 부호가 바뀌면 는 변곡점이고, 이때 입니다.
위 컴포넌트에서 의 경우 이므로 에서 부호가 바뀌고, 따라서 이 변곡점입니다.
변곡점이 아닌 5가지 경우
이더라도 를 기준으로 볼록성이 바뀌지 않는다면 변곡점이 아닙니다. (a) 와 같이 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀌거나, (b) 와 같이 그 반대인 경우는 변곡점이 맞지만, (c), (d) 와 같이 볼록성이 있다가 사라지는 경우, (e) 와 같이 근방에서 볼록성이 없는 경우는 변곡점이 아닙니다.
