graph-1 에서는 함수의 증감성을 "두 점에서의 함숫값 비교"로 다뤘습니다. 미분을 배운 지금은 같은 개념을 도함수의 부호로 훨씬 효율적으로 다룰 수 있습니다.

증감성을 갖는 그래프가 그려지는 영역

증가함수 의 그래프 위의 한 점 를 안다면, 의 그래프는 색칠된 영역에 그려져야 합니다.

감소함수 의 그래프 위의 한 점 를 안다면, 의 그래프는 색칠된 영역에 그려져야 합니다.

증감성 판정

미분계수의 부호를 이용하여 증감성을 판정할 수 있습니다.

함수를 토글해 보세요. 인 영역(초록)에서는 함수가 증가하고, 인 영역(빨강)에서는 감소합니다. 위 패널이 , 아래 패널이 입니다.

미분가능한 함수 가 구간 에서

• 이면 는 그 구간에서 증가합니다.
• 이면 는 그 구간에서 감소합니다.
• 이면 는 그 구간에서 상수함수입니다.

단, 함수의 정의역이 닫힌구간 인 경우에는 주의가 필요합니다. 구간 끝에서는 미분계수를 정의할 수 없기 때문입니다. 이럴 때는 "닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능한 상황"으로 대체합니다. 이는 롤의 정리·평균값 정리와 동일한 상황 설정입니다.

단조증가함수와 단조감소함수

미분가능한 함수 가 어떤 구간에서 이면 그 구간에서 증가하거나 상수함수입니다. 다시 말하면, 감소하지는 않습니다.

이를 도함수 없이 함숫값의 대소관계로 표현하면, 함수 가 어떤 구간 내의 임의의 두 실수 , 에 대하여 이면 인 상황입니다. 이러한 상황을 일컬어 "함수 가 그 구간에서 단조증가한다" 또는 "함수 는 그 구간에서 단조증가함수" 라 부릅니다.

마찬가지로 이면 그 구간에서 감소하거나 상수함수이고, 이를 "함수 가 그 구간에서 단조감소한다" 또는 "함수 는 그 구간에서 단조감소함수" 라 부릅니다.

단조증가의 세 가지 경우

케이스 (a)(b)(c)를 토글해 보세요. 셋 다 단조증가함수입니다.

단조증가는 세 가지 경우가 있습니다.

• (a) 인 경우는 증가와 동일합니다.
• (b) 어떤 구간(들)에 속하는 모든 에 대하여 인 경우, 그 구간(들)에서는 상수함수이고 나머지 구간들에서는 증가합니다.
• (c) 인 가 구간으로 나타나지 않는 경우, 모든 구간에서 증가합니다.

단조감소의 세 가지 경우

단조감소도 동일하게 세 가지 케이스가 있습니다.

단조감소도 세 가지 경우가 있습니다. 위 (a)(b)(c)에서 부호와 방향만 반대입니다.

쉼점: 접선의 기울기가 인 점

슬라이더로 점 를 움직여 인 위치를 찾아보세요. 함수를 토글하면 "쉼점이지만 극점이 아닌" 경우도 확인할 수 있습니다.

접선의 기울기가 인 점을 쉼점(stationary point)이라 부르기로 합시다. 극대점과 극소점은 모두 쉼점입니다.

하지만 단조증가·단조감소의 케이스 (c)에서 보았듯이, 이지만 증감성이 바뀌지 않는 점도 존재합니다. 이런 점은 쉼점이지만 극점은 아닙니다. 즉, "쉼점 ⊃ 극점" 의 관계입니다.