극점과 최점은 graph-1 에서 정의를 보았습니다. 미분을 배운 지금은 미분계수를 활용해 극점을 더 효율적으로 판정할 수 있습니다.
극점 판정
연속성과 미분가능성에 따라 극점 판정 방법이 달라집니다.
x=a 에서 증감성이 바뀌면 f'(a) = 0
미분가능한 함수가 x=a 에서 증감성이 바뀌면 극점이고, 이때 f'(a) = 0.
→ 극대점 (0, 1.0)
케이스를 토글하면서 불연속/연속/미분가능 각 상황에서 극점이 어떻게 판정되는지 확인해 보세요.
(a) 불연속인 점에서: 미분계수로 판정할 수 없고, 그래프를 그려서 직접 판정해야 합니다.
(b) 연속인 점에서: 연속함수가 에서 증감성이 바뀌면 는 극점입니다. 증가에서 감소로 바뀌면 극대점, 감소에서 증가로 바뀌면 극소점입니다. 절댓값 함수처럼 미분 불가능한 점에서도 적용됩니다.
(c) 미분가능한 점에서: 미분가능한 함수가 에서 증감성이 바뀌면 는 극점이고, 이때 입니다.
미분가능한 함수의 극점에서의 미분계수
미분가능한 함수 에 대하여 가 극점이면 입니다. 즉, 극점은 항상 쉼점입니다.
이 명제의 역은 성립하지 않습니다. 이더라도 를 기준으로 증감성이 바뀌지 않는다면 극점이 아닙니다. 즉, 쉼점이라고 해서 항상 극점인 것은 아닙니다.
(이것은 sec-01 의 마지막에서 본 같은 경우로, 은 쉼점이지만 극점이 아닙니다.)
닫힌구간에서 연속일 때 최점
닫힌구간 에서 연속인 함수 는 최대·최소 정리에 의하여 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖습니다.
정의역 [-2.0, 1.5]
최대점 (극점)(-1.00, 0.67)
최소점 (극점)(1.00, -0.67)
슬라이더로 구간 끝점 , 를 움직여 보세요. 최대점과 최소점은 항상 "극점" 또는 "구간 끝점" 중 하나입니다.
- 최대점은 극대점(들)과 구간의 양 끝점 중에서 함숫값이 가장 큰 점입니다.
- 최소점은 극소점(들)과 구간의 양 끝점 중에서 함숫값이 가장 작은 점입니다.
열린구간에서 연속일 때 최점
f(x) = x, 구간 (-2, 2)
끝점 (2, 1.4) 에 가까이 갈수록 함숫값이 커지지만 도달하지 못함 → 최댓값 X
4 가지 케이스를 살펴보세요. 열린구간에서는 끝점에 도달할 수 없으므로, 끝점 근방에서 함숫값이 더 커지거나 작아지면 최점이 존재하지 않을 수 있습니다.
열린구간 에서 연속인 함수 는 최댓값을 가진다는 보장이 없고, 최솟값을 가진다는 보장도 없습니다. (a), (b) 와 같은 상황이 그 예입니다.
만약 열린구간 에서 연속인 함수 가 최댓값을 갖는다면, 최대점은 극대점들 중에서 함숫값이 가장 큰 점입니다 ((c) 의 경우).
마찬가지로 최솟값을 갖는다면, 최소점은 극소점들 중에서 함숫값이 가장 작은 점입니다 ((d) 의 경우).