graph-1 에서는 선대칭함수의 기하학적 성질을 봤습니다. 미적분을 배운 지금은 미분계수와 정적분 관점에서 다시 봅니다.

P 와 대칭점 P' 의 관계 (복습)

선분 의 중점은 대칭축 위에 있고, 대칭축과 선분 은 수직입니다. 대칭축과 는 만날 수도 있고, 만나지 않을 수도 있습니다.

graph-1 의 LineSymmetryExplorer 에서 점 P 와 그 대칭점 P' 의 관계를 다시 확인할 수 있습니다.

대칭축에 수직인 직선 과의 교점의 개수

어떤 선대칭함수 의 대칭축에 수직인 직선 을 그었을 때, 과 의 서로 다른 교점의 개수를 생각해봅시다.

서로 다른 교점의 개수가

• 이면: 그 교점은 대칭축 위에 있고, 자기 자신과 선대칭 관계
• 이면: 두 교점이 서로 선대칭 관계
• 이면: 한 교점은 대칭축과 의 교점, 나머지 두 교점은 서로 선대칭 관계
• 이면: 좌표 순서대로 P, Q, R, S 라 할 때 P↔S, Q↔R 가 선대칭 관계

교점의 개수가 홀수이면 그 중 한 교점은 대칭축 위의 점이고, 나머지는 두 점씩 짝을 이뤄 선대칭 관계입니다. 짝수이면 두 점씩 짝을 이뤄 선대칭 관계입니다.

미분계수와 정적분

"미분계수" 모드에서는 슬라이더로 P 의 거리 를 움직이며 P 와 P' 의 접선 기울기가 부호 반대임을 확인하세요. "정적분" 모드에서는 두 색칠 영역의 넓이가 같음을 확인하세요.

미분계수

에서의 접선은 에서의 접선과 대칭축 에 대하여 선대칭입니다. 따라서

정적분

색칠된 두 부분의 넓이는 서로 같습니다. 따라서

증감성과 극점

선대칭함수 그래프의 절반인 도형 를 대칭축에 대해 대칭이동하면 을 얻습니다. 와 의 증감성은 서로 반대입니다. 극대점의 대칭점은 극대점, 극소점의 대칭점은 극소점입니다.

대칭축과 그래프가 만날 때

선대칭함수 가 에서 미분가능하고 대칭축이 일 때, 의 선대칭점은 자기 자신입니다. 따라서

(미적분 선택자 전용) 를 기준으로 볼록성이 바뀔 수 없으므로, 는 절대로 변곡점이 될 수 없습니다.

(미적분 선택자 전용) 볼록성과 변곡점

선대칭함수 그래프의 절반인 도형 를 대칭축에 대해 대칭이동하면 을 얻습니다. 와 의 볼록성은 서로 동일합니다. 변곡점의 대칭점은 변곡점입니다.