선대칭과 마찬가지로, 점대칭함수의 기하학적 성질을 미적분 관점에서 다시 봅니다. 핵심 차이는 점대칭에서 P 와 P' 의 미분계수가 같은 부호 라는 점입니다.

P 와 대칭점 P' 의 관계 (복습)

선분 의 중점은 중심입니다. 중심은 위의 점일 수도 있고, 아닐 수도 있습니다.

graph-1 의 PointSymmetryExplorer 에서 점 P 와 그 점대칭점 P' 의 관계를 다시 확인할 수 있습니다.

중심을 지나는 직선 과의 교점의 개수

어떤 점대칭함수 의 중심을 지나는 직선 을 그었을 때, 과 의 서로 다른 교점의 개수를 생각해봅시다.

• 개: 그 교점은 중심이고, 위의 점
• 개: 두 교점이 점대칭 관계, 중심은 곡선 위 점이 아님
• 개: 한 교점은 중심, 나머지 두 점이 점대칭 관계
• 개: 좌표 순서로 P, Q, R, S 라 할 때 P↔S, Q↔R 가 점대칭 관계

미분계수와 정적분

"미분계수" 모드: P 와 P' 의 접선 기울기가 같음(평행)을 확인하세요. "정적분" 모드에서는 두 영역이 중심을 기준으로 대칭임을 확인하세요.

미분계수

에서의 접선은 에서의 접선과 중심에 대하여 점대칭입니다 (즉, 평행). 따라서

선대칭에서는 부호가 반대였지만, 점대칭에서는 부호도 같습니다.

정적분

색칠된 영역의 신호를 함숫값으로 잡으면

증감성과 극점

점대칭함수 그래프의 절반 를 중심에 대해 점대칭이동한 도형을 이라 할 때, 와 의 증감성은 서로 동일합니다. 극대점의 대칭점은 극소점, 극소점의 대칭점은 극대점입니다.

중심이 그래프 위의 점일 때

점대칭함수 가 에서 미분가능하고 중심이 일 때, 의 점대칭점은 자기 자신입니다. 따라서 라는 자명한 식만 얻고, 점대칭함수의 중심에서의 미분계수에 대해서는 특별히 얻는 정보가 없습니다.

(미적분 선택자 전용) 함수의 그래프가 근방에서 직선이 아니라면 볼록성이 바뀌므로, 이 경우 점대칭함수의 중심은 변곡점입니다. 직선이라면 볼록성이 없으므로 변곡점이 아닙니다.

(미적분 선택자 전용) 볼록성과 변곡점

점대칭함수 그래프의 절반 를 중심에 대해 점대칭이동한 도형을 이라 할 때, 와 의 볼록성은 서로 반대입니다 (선대칭과 정반대). 변곡점의 대칭점은 변곡점입니다.